§ 5.6. Динамические свойства электрона в кристалле.

Априори можно заметить, что движение электронов в кристалле сложнее, чем движение свободного электрона. Это объясняется тем, что на электрон действует внутреннее периодическое поле кристаллической решетки, а также внешнее электрическое поле, которое создает внешнюю силу F, равную:

, где - напряженность внешнего электрического поля.

Именно эта сила, в соответствии с законом Ньютона, сообщает электрону ускорение. Потенциальная энергия внутреннего периодического поля представляет собой периодическую функцию с периодом, равным постоянной решетки.

В рамках такого представления нельзя рассчитать истинную траекторию электрона, т.к. надо учитывать соотношение неопределенности. Поэтому для описания движения электрона в кристалле будем использовать понятие средней скорости. Рассмотрим три этапа.

1. Учитывая соотношение неопределенности и корпускулярно – волновой дуализм, движение электрона в кристалле может быть представлено с помощью волнового пакета, составленного из блоховских функций. В этом случае под средней скоростью электрона подразумевается групповая скорость дебаевских волн:

(5.12.)

Как видно из формулы (5.12.), средняя скорость электрона определяется законом дисперсии E(k), причем к такому выводу можно прийти иначе. Запишем дисперсионное соотношение для свободного электрона:

(5.13.)

Учитывая, что импульс электрона после некоторых алгебраических преобразований соотношения (5.13.), получим формулу (5.12.)

2. Можем ввести среднее ускорение:

(5.14.)

3. Внешнее поле совершает над электроном работу, вследствие чего его энергия изменяется (происходит смещение):

, (5.15.)

откуда .

Используя соотношение (5.14.), запишем среднее ускорение электрона:

,

откуда получаем уравнение поступательного движения электрона в кристаллической решетке под действием внешней силы:

, где (5.16.)

- эффективная масса электрона в кристалле.

Эффективная масса – это аналог массы свободного электрона, но при движении его в кристаллической решетке.

Итак, закономерности движения электрона в кристалле в потенциальном поле определяется законом дисперсии в каждой конкретной энергетической зоне, т.к. любая зона характеризуется своей дисперсионной кривой.

§ 5.7. Приближение эффективной массы.

Рассмотрим основные характеристики и особенности эффективной массы электрона. Эффективная масса учитывает влияние взаимодействия электрона с решеткой на характер его движения и, в отличие от обычной массы, не является мерой инерции. Однако, электрон в кристалле движется под действием внешней силы F в среднем таким образом, как если бы он был свободным и обладал эффективной массой. Итак, можем сформулировать следующие замечания:

Движение электрона в кристалле можно описывать уравнениями для свободных электронов, избавившись от необходимости учета периодического поля кристалла. Таким образом, используя понятие эффективной массы сложные законы движения электрона в кристалле можно свести к законам классической механики.

Оперируя понятием эффективной массы, вместо уравнения Шредингера с периодическим потенциалом можно записать уравнение более простого вида, заменяя обычную массу свободного электрона на эффективную.

П о своему физическому смыслу эффективная масса является коэффициентом пропорциональности, связы-вающим внешнюю силу, действующую на электрон в кристалле, с ускорением частицы. Этот коэффициент отражает меру взаимодействия электрона с решеткой.

Кроме того, поскольку дисперсионная зависимость E(k) анизотропна, то масса m^* тоже является анизотропной, причем m^* - это тензор второго ранга, имеющий три главных значения m_x, m_y, m_z.

Запишем одноэлектронное уравнение Шредингера для конкретного кристалла в переменном потенциальном поле:

(5.17.)

Используя понятие эффективной массы уравнение (5.17.) примет вид:

(5.18.)

Рассмотрим изменение эффективной массы в пределах одной зоны Бриллюэна (Рис.5.10.), причем для уяснения характера изменения m^* проанализируем следующие зависимости:

E(k) – дисперсионная зависимость;

- характеристика скорости поступательного движения электрона;

- характеристика ускорения электрона;

- эффективная масса.

Для анализа можно выделить три зоны: