§ 5.4. Закон дисперсии для электронов в кристалле.

В этом параграфе рассматриваются особенности дисперсионного закона для электрона в кристалле.

1. На границе зоны Бриллюэна дисперсионная кривая (Рис.5.4.) испытывает разрыв. Отклонение графика от параболы в близи границы зоны Бриллюэна является следствием влияния кристаллической решетки на волновую функцию электрона. При электронные волны представляют собой стоячие волны, т.е. идет отражение электронных волн от периодической решетки (реализуется условие Брэгга).

2. Рассмотрим зависимость E(k) в схеме периодических зон Бриллюэна (Рис.5.5.) и проанализируем, как ведет себя электрон в нижней и верхней частях энергетической зоны:

а) если а ( - длина электронной волны), то ; следовательно, в нижней части энергетической зоны электрон ведет себя как свободный, т.к. дисперсионные кривые для электрона в кристалле и для свободного электрона совпадают;

б) если а, то , где n – номер зоны Бриллюэна. Учитывая, что , получаем условие Вульфа – Брэгга для частного случая (=90): n=2a.

Таким образом, границы зон разрешенных энергий электрона определяются величиной постоянной решетки а.

Различные виды и типы электронных процессов удобно анализировать в разных схемах. Из схемы периодических зон (Рис.5.6,б) видно, что для нечетного номера зоны Бриллюэна существует минимум энергии в центре зоны, а для четного номера – максимум энергии. В трехмерном случае границы энергетических зон определяются значением постоянной решетки а, причем это значение может быть различным для разных направлений. Поэтому дисперсионная зависимость E(k) тоже может различаться в разных направлениях и даже перекрываться.

§ 5.5. Заполнение энергетических зон электронами.

Фундаментальным свойством электрона в идеальной кристаллической решетке является то, что электрон может иметь только разрешенное значение энергии. При этом возможность нахождения электрона в том или ином энергетическом состоянии определяется законом дисперсии, который в трехмерном случае может быть анизотропен в k-пространстве. Это означает, что зоны разрешенных значений энергии электрона могут перекрываться в разных направлениях.

В пределах первой разрешенной зоны существует конечное число энергетических уровней, равное количеству элементарных ячеек N. Однако, в соответствии с принципом запрета Паули, электрон может иметь всего 2N энергетических состояний. Учитывая эти обстоятельства, рассмотрим влияние характера заполнения зон электронами на анизотропность закона дисперсии.

Случай 1.

Последняя (в энергетическом смысле) зона заполнена частично. Рассмотрим случай, когда Т=0К.

На Рис 5.7.а. разность энергий между каждым дискретным уровнем составляет 10^-23 эВ. При помещении кристалла во внешнее электрическое поле, часть электронов перейдет на более высокий энергетический уровень, вследствие чего потечет электрический ток. В данном случае 3s-зона (Рис 5.7.) определяет возможность переноса электрического заряда. Эта зона является валентной и заполненной наполовину. Этот случай характерен в основном для щелочных металлов.

Случай 2.

В силу анизотропии верхняя валентная зона заполнена полностью, но она перекрывается по энергии со следующей разрешенной зоной свободных электронных состояний (рис 5.8.).

При помещении такого кристалла во внешнее электрическое поле также потечет электрический ток. В этом случае проводимость будет осуществляться переносом энергии по 3p и 3s состояниям, причем в зоне 3p состоянии проводимость электронная, а в 3s – дырочная. Можно сделать вывод, что металлы тоже могут обладать дырочной проводимостью. Такие металлы часто называют полуметаллами.

Случай 3.

Последняя энергетическая зона заполнена полностью и отделена от зоны свободных энергетических состояний электрона энергетической щелью (Рис 5.9.)

Р ассмотрим поведение кристалла при условии: Т=0 К.

При помещении такого кристалла во внешнее электрическое поле с малым потенциалом, электрический ток протекать не будет, поскольку данной энергии недостаточно для возбуждения электрона. Такие тела называют изоляторами, или твердыми телами с энергетической щелью. Этот случай характерен для диэлектриков и полупроводников, т.е. для тел, имеющих в своей энергетической структуре щель между зоной заполненных состояний и зоной свободных состояний.

Заметим, что разница между диэлектриками и полупроводниками носит лишь количественный характер, в то время как отличие между металлами и изоляторами носит принципиальный характер.

Замечания.

1. Ширина запрещенной зоны Е_g соответствует разным значениям волнового вектора.

2. Анализ характера заполнения зон электронами позволяет исключить из рассмотрения более глубокие зоны, лежащие ниже валентной, т.к. они заполнены полностью и не влияют на электропроводность.

3. Характер заполнения зон электронами зависит от симметрии кристаллической решетки. Симметрия оказывает влияние на наличие, величину или отсутствие энергетической щели.

4. Различают прямые и непрямые электронные переходы.

Прямые переходы происходят без изменения квазиволнового вектора k, а переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости, сопровождаемые существенным изменением квазиволнового вектора k являются непрямыми (невертикальными). В случае непрямого перехода у электрона происходит изменение импульса, что обусловлено наличием третьей частицы, сообщающей ему этот импульс (фонона). Таким образом, не вертикальные переходы происходят при взаимодействии трех частиц: электрона, фотона и фонона. Наличие фонона говорит об участии во взаимодействии кристаллической решетки. Фактически решетка и сообщает дополнительный импульс.

5. Наличие анизотропии кристаллической решетки определяется также с помощью понятия долин. Долины – это такие состояния в зонно – энергетической структуре, которые обеспечивают преимущество нахождения электронов в том или ином энергетическом состоянии.