§ 5.3. Свойства волнового вектора электронов в кристалле

В этом параграфе следует рассмотреть два случая: случаи свободного электрона и электрона в кристалле.

1. Свободный электрон.

Энергия Е и импульс р свободного электрона определяются волновым вектором, причем . Учитывая, что: , , , получим дисперсионное соотношение для свободного электрона:

. (5.7.)

Из формулы (5.7.) видно, что энергия свободного электрона может изменяться непрерывно по параболе (Рис.5.3).

Математически Е(k) – парабола, а с точки зрения физики Е=const (точка на параболе), если на электрон не действуют внешние силы. В этом случае сохраняются. Для того, чтобы электрон перешел в иное состояние, соответствующее другой точке на параболе (см. Рис.5.3.), на него нужно подействовать, передав ему энергию.

Поскольку решение уравнения Шредингера для свободного электрона представляет собой плоскую волну, то для данной модели нужно рассматривать плотность электронов:

. (5.8.)

Из соотношения (5.8.) видно, что плотность электронов постоянна (это особенно характерно для металлов).

Таким образом, модель свободного электрона применима только для металлов. Чтобы понять состояние электрона в диэлектрике или полупроводнике, надо учитывать функцию Блоха (рассматривать электрон в кристалле).

2. Электрон в кристалле.

Энергия Е электрона в кристалле является периодической функцией от координаты, причем Е и изменяются под действием периодического поля решетки (отличие от Е и свободного электрона). Вектор также неоднозначен, зависит от периодической функции и отличен от того же вектора в случае свободного электрона. Поэтому электрон в кристалле называют квазиэлектроном, а его волновой вектор и импульс – квазиволновым вектором и квазиимпульсом. Рассмотрим свойства квазиволнового вектора:

1) Если потенциальная энергия электрона близка к нулю, то квазиволновой вектор почти не отличается от волнового вектора свободного электрона, т.е., фактически, имеем случай свободного электрона.

2) Покажем, что вектор неоднозначен. Для этого запишем условие трансляции для волновой функции:

(5.9.)

Условие (5.9.) не нарушается, если вектор заменить на , где - вектор обратной решетки в k-пространстве, - вектор обратной решетки. Математически замена выглядит так:

(5.10.)

Вектор неоднозначен, а состояния электрона в решетке, характеризуемые волновыми векторами и , физически эквивалентны. Т.е. энергия электронов, находящихся в этих состояниях, одинакова:

(5.11.)

Неоднозначность вектора означает, что он определяется с точностью .

3) Можно построить обратную решетку в k-пространстве с векторами , , . Это пространство можно разделить на эквивалентные области – зоны Брилюэна, в которых выполняются равенства (5.11.), причем волновое число k принимает все возможные значения в пределах первой зоны Бриллюэна.

Таким образом, эквивалентность физических состояний электрона в различных зонах Бриллюэна позволяет рассматривать траекторию его движения только в пределах первой зоны, что подчеркивает особую роль последней.

4) Квазиволновой вектор электрона в кристалле меняется дискретно. Тем не менее, при эксперименте можно считать, что вектор непрерывен, поскольку в макроскопическом кристалле трудно определить дискретность.

5) Каждому разрешенному значению соответствует определенное значение уровня энергии электрона. Таким образом, в силу принципа Паули, общее число электронов с разрешенными значениями энергии не может превышать 2N, где N – число элементарных ячеек.