§ 5.2. Уравнение Шредингера для кристалла.

Строгое рассмотрение поведения электронов в кристалле требует решения уравнения Шредингера для системы большого числа частиц (ядер и электронов). В общем случае стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

, где (5.1.)

- оператор Гамильтона,

 - волновая функция, зависящая от координат всех частиц системы.

- плотность вероятности распределения электронов и ядер в пространстве,

, где

r_i – радиус-вектор i–го электрона,

R_i - радиус-вектор i–го ядра.

Уравнение Шредингера будет иметь решение при вполне определенных значениях Е. Совокупность разрешенных значений Е носит название энергетического спектра твердого тела. Т.к. число частиц, входящих в систему, велико, то уравнение Шредингера не имеет точного решения, а существуют лишь приближения:

1. Адиабатическое. Поскольку М_яд>>m_эл, можем считать ядра не подвижными, а следовательно, их кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная – постоянна. Таким образом, задается геометрия решетки.

2. Валентная аппроксимация. Уравнение записывается только для валентных электронов, которые движутся вокруг неподвижных атомных остовов (остов включает в себя ядро и электрон).

В случаях 1 и 2 задача упрощается, но не решается.

3. Одноэлектронное приближение (метод Харди - Фока). Многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной. Для этого потенциальная энергия взаимодействия i-го электрона с остальными заменяется на энергию взаимодействия этого же электрона с неким эффективным полем, характеризующим электронное состояние: U_i= . Многоэлектронное уравнение может быть сведено к системе одноэлектронных уравнений Шредингера . Условия перехода для одноэлектронного приближения: и .

Эффективное поле – это полная энергия электрона, равная:

, где (5.2.)

- энергия, характеризующая электрон – электронное взаимодействие;

- энергия, описывающая взаимодействие электрона с кристаллической решеткой.

Поскольку гамильтониан имеет смысл энергии электрона, а она в свою очередь складывается из потенциальной и кинетической энергий, можно записать:

. (5.3.)

С учетом соотношения (5.3.) уравнение (5.1.) имеет вид:

, (5.4.)

причем потенциальная энергия принимает следующие значения: =0 для свободного электрона; 0 для электронов в кристалле. Решения уравнения Шредингера ищут в виде:

1. для свободного электрона (здесь А – постоянная, не зависящая от координат электрона).

2. Для электрона в кристалле решение уравнения будет иметь более сложный вид:

, где

- функция Блоха – некая периодическая функция с периодом, равным периоду решетки, и определяющая вероятность нахождения электрона в той или иной области кристалла. В пределах каждой элементарной ячейке она зависит от координаты электрона и повторяется периодически при переходе от одной ячейки к другой.

Рассмотрим графически вид функции на примере цепочки атомов (Рис.5.2.)

Из рис.5.2. видно, что функция для электрона в пределах элементарной ячейки может быть близка к волновой функции если электрон находится глубоко в потенциальной яме. В пределах одной зоны зависит от волнового вектора (определяется его модулем). При переходе из одной зоны в другую определяется номером зоны n. Следовательно, и функция так же зависит от номера зоны и модуля волнового вектора.

Теорема Блоха.

Волновые функции электрона в кристалле, являющиеся решениями уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, представляют собой плоские волны, модулированные периодической функцией с периодичностью решетки кристалла:

(5.5.)

Комментарии.

1. - волновой вектор электрона, характеризующий квантовое состояние электрона в кристалле, [ ]=см^-1.

2. Физический смысл вектора - это число длин волн электронов в кристалле, укладывающихся на отрезке 2: .

3. От волнового вектора зависит энергия электрона в кристалле. Следовательно уравнение (5.1.) запишется в виде:

, где (5.6.)

Е( ) – дисперсионная зависимость, определяющая все энергетические уровни электрона. Нахождение Е( ) является важнейшей задачей в физике твердого тела.

Заметим, что потенциальная энергия V, определяемая формулой , имеет два крайних значения:

1) Если U0, , то имеет место только электрон – электронное взаимодействие, т.е. электрон является свободным. Такое взаимодействие соответствует зоне проводимости, когда электрон находится выше барьера запрещенной зоны (см. Рис.5.2.). Этот случай называют приближением слабой связи.

2) Если 0, , то электрон находится в валентной зоне. Такое состояние называют приближением сильной связи.