§ 4.7. Тепловые свойства твердых тел.

1. Теплоемкость.

Молярная теплоемкость – это энергия необходимая для повышения температуры одного моля вещества на 1 Кельвин: C_V=

При достаточно высоких температурах теплоемкость всех тел стремится к постоянной величине C_V=25 (Закон Дюлонга - Пти).

При достаточно высоких температурах или , где R – газовая постоянная (Рис.4.17.).

Заметим, что при высоких температурах электронная подсистема практически не влияет на теплоемкость, т.к. kT>> ћ_D. П ри температурах, значительно меньших, чем температура Дебая, электроны могут вносить вклад в теплоемкость. При критическом значении температуры Т_С атомы решетки и электроны вносят соизмеримый вклад в теплоемкость (Рис.4.18.)

Для конкретного кристалла критическая температура: , где _D – температура Дебая. При Т<<_D плотность акустических фононов гораздо больше, чем оптических.

2. Тепловое расширение.

Для правильного описания теплового расширения необходимо учитывать эффекты ангармоничности. Т.к. кривая зависимости U(x) несимметрична (рис 4.19.), то тепловое расширение описывается не только в рамках гармонического приближения, т.е.:

, где (4.34.)

g – коэффициент ангармоничности, определяющий искажение потенциальной кривой U(x) и связанный с коэффициентом  линейного термического расширения соотношением:

, где (4.35.)

х₀ – параметр решетки в данном направлении, зависящий от сил связи и от симметрии решетки,

k – постоянная Больцмана.

Из формулы (4.35.) видно, что т.к.  является постоянной для данного кристалла, то g – тоже фундаментальная константа этого кристалла. Таким образом, коэффициент ангармоничности учитывает взаимодействие между независимыми осцилляторами.

3. Теплопроводность.

Запишем закон Фурье для случая изотропной среды:

, где (4.36.)

q – плотность потока тепловой энергии,

К – коэффициент теплопроводности,

Т – температура,

n – некоторое выбранное направление.

В общем случае К складывается из коэффициентов теплопроводности атомов решетки и электронов: К=К_реш + К_эл

Причем в металлах теплопроводность определяется в основном наличием электронов (К_эл>>K_реш), а в диэлектриках преобладает фононная теплопроводность (К_эл0):

, где

C_V – теплоемкость,

_зв – скорость звука,

_ф – длина свободного пробега, т.е. расстояние, которое фонон проходит до столкновения с другим фононом.

С длиной свободного пробега связано понятие времени релаксации. Время релаксации – это время, которое фонон «проживает» до столкновения:

Длина свободного пробега _ф зависит от температуры.

Рассмотрим случаи:

1) если T>>_D, то C_V=const,  ,  , К_реш . В данном случае вероятность наступления U-процессов велика, поскольку теплопроводность уменьшается с ростом температуры.

2) если T<_D (незначительно), то  , К_реш , а вероятность протекания U-процессов близка к нулю.

3) если T0 (вблизи абсолютного нуля), то L=const, где L – макроскопический размер кристалла; Т³. В данном случае фононы рассматриваются на границах (поверхностях) кристалла, вероятность протекания U-процессов очень мала.

Суммарная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры показана на Рис.4.20.

Поскольку максимум кривой смещается при уменьшении размеров частиц, меняется целый комплекс свойств кристалла в наноструктурном состоянии