§ 4.6. Энергия нормальных колебаний. Понятие о фононах.

С точки зрения механики любое нормальное колебание есть гармонический осциллятор. Суммарная энергия всех осцилляторов равна

, где (4.31.)

3pN - число нормальных колебаний, распределенных по частотному спектру;

kT – полная энергия, приходящаяся на одну степень свободы; .

По аналогии с квантованием электромагнитных колебаний, можно ввести понятие о квантах тепловых колебаний, которые называются фононами. Всю сумму колебательных процессов в кристаллах можно представить в виде движения фононов, что позволяет считать поведение фононов эквивалентным поведению простых частиц.

Колебательные процессы будут выглядеть достаточно просто если воспользоваться понятием о корпускулярно-волновом дуализме: каждой волне с частотой  можно поставить в соответствие некую частицу с конкретным импульсом . Упругую волну с волновым вектором k в решетке можно рассматривать как совокупность квантов с энергией . Можно записать формулу для энергии квантового осциллятора:

, где (4.32.)

n – главное квантовое число; n=0, 1, 2…

½ - энергия нулевых колебаний;

ћ – минимальная порция колебательной энергии.

Выводы.

1. Минимальная энергия нормальных колебаний есть энергия нулевых колебаний.

2. Энергия колебательного процесса может меняться только порциями, равными ћ. Эта порция соответствует энергии одного фонона.

3. Энергию нулевых колебаний можно изъять, лишь разрушив сам кристалл.

4. Т.к. фонон несет наименьшую порцию энергии, его рассматривают как элементарное энергетическое возбуждение колебательной подсистемы кристалла (фононной подсистемы). Фонон является квазичастицей, т.к. вне кристалла этой частицы не существует.

5. В кристалле возможно сложное возбуждение, реализуемое несколькими фононами.

Таким образом, каждую моду колебаний в решетке можно возбудить с помощью целого числа фононов.

Заметим, что фононы делятся на оптические и акустические. Фонон имеет свой импульс, время жизни (10^-1210^-13 с). Фононы подчиняются квантовой статистике (статистике Бозе - Эйнштейна), согласно которой функция распределения частиц (фактор Бозе - Эйнштейна) имеет вид:

. (4.33.)

Данной статистике подчиняются все частицы с целочисленным спином (в т.ч. фононы), называемые бозонами. Во всех взаимодействиях квазичастиц выполняются законы сохранения. В случае фонон-фононного взаимодействия получаем третий фонон и законы сохранения выглядят следующим образом:

1. Закон сохранения энергии: или .

2. Закон сохранения импульса: или , где - волновой вектор или квазиимпульс.

Т.к. все точки прямой и обратной решетки эквивалентны, то закон сохранения энергии в случае фононов выполняется с точностью до произвольного вектора обратной решетки: , где - вектор обратной решетки. При этом может реализоваться два случая:

1) =0. Реализуются N – процессы (нормальные процессы). N – процесс отвечает случаю, когда вектор направлен примерно в ту же сторону, что и , (Рис.4.15.)

2) 0. Реализуются U – процессы (процессы переброса). В этом случае вектор выходит за пределы зоны Брилюэна, а вся информация содержится в первой зоне Брилюэна. Вектор соединяет две эквивалентные точки (Рис.4.16.), .

Процессы переброса очень важны, т.к. они приводят к тому, что происходит статистическое распределение фононов по энергиям и направлениям. Следовательно, значение теплопроводности имеет некий предел, в то время как при существовании только N – процессов данный предел отсутствовал бы, что физически невозможно. Реализация U – процессов также означает, что кристаллическая решетка, в которой движутся фононы, принимает участие во взаимодействии («забирает» часть импульса с кратностью, соответствующей вектору обратной решетки).

Примечание. Фононы могут расщепляться, но в отличие от реальных и материальных частиц число последних при фононном взаимодействии (до и после него) не сохраняется.