§ 4.4. Колебания линейной цепочки с двухатомным базисом.

В этом параграфе рассматривается влияние не одноатомного базиса на закон дисперсии.

Рассмотрим линейную цепочку с двумя сортами атомов (рис.4.9.). Массы атомов соответственно M, m, причем M>m. Число степеней свободы -2N, период решетки –2а,  - силовая постоянная взаимодействия. Запишем 2 типа уравнения движения (для разных сортов атомов):

1. 

2. 

Решение этих уравнений представляются в виде двух текущих продольных волн вдоль цепочки:

	(4.16.)

Подставляя (4.16.) в уравнения движения, получим систему:

(4.17.)

Решая систему (4.17.), получим биквадратное уравнение относительно , корни которого равны:

(4.18.)

Формула (4.18.) определяет закон дисперсии для двухатомной цепочки.

Следствия.

1. Одному значению волнового числа соответствуют две нормальных моды колебаний.

2. Чтобы определить, сколько значений k может быть в данной цепочке, применим циклические условия Борно-Кармана:

или

Подставляя в эти условия решения уравнений движения различных атомов, получаем:

(4.19.)

Равенство (4.19.) верно, если:

(4.20.)

Из формулы (4.20.) видно, что количество возможных значений k равно N. Значения k квантуются (число значений k равно количеству ячеек).

3. Все возможные значения k лежат в первой зоне Брилюэна для двухатомной цепочки, т.е. изменений не произойдет, если k заменить на (k+/2а).

4. Решение задачи о колебаниях двухатомной цепочки приводит к двум ветвям закона дисперсии (графически), что проиллюстрировано на рис.4.10.

₁ – оптическая ветвь колебаний,

₂ – акустическая ветвь колебаний.

а) В центре зоны Брилюэна (при k0) предельные (максимальные) частоты колебаний:

, (4.21.)

для линейной цепочки =k, где  – скорость звука, равная:

или , где (4.22.)

Е – модуль Юнга,

 -плотность, причем =const.

б) На границе зоны Бриллюэна (при k/2а) предельные частоты колебаний определяются массой атомов и природой сил связей:

(4.23.)

Акустические колебания – это такие колебания, у которых длина волны превышает период решетки (а).

Оптические колебания – это колебания, с частотой электромагнитных колебаний в инфракрасной области спектра.

5. Существует интервал запрещенных частот: . Колебания с такими частотами не могут распространяться в данной решетке. Однако, если внести дефект (нарушить периодичность), то запрет может быть снят и будут возникать дефектные локализованные колебания вблизи дефекта.

Замечание. В оптических колебаниях моды движутся в противофазе, а в акустических колебаниях – с одной фазой.

§ 4.5. Колебания в трёхмерной решетке.

Н апомним, что в случае анизотропной однородной среды (континуума) имеем три ветви закона дисперсии, т.е. одному значению k соответствуют три моды колебаний – две поперечных, одна продольная (Рис.4.11.)

, ,

Одноатомный трехмерный кристалл

Допустим, что кристалл составлен из N одинаковых атомов, число которых равно числу элементарных ячеек. Так как. Каждый атом имеет три степени свободы, то 3N - общее число степеней свободы; в гармоническом приближении – 3N нормальных мод колебаний. Смещению каждого атома можем сопоставить вектор смещения, который будет являться радиус-вектором данной трехмерной решетки. Таким образом, имеем систему из 3N уравнений движения, решения которой ищут в виде:

, где (4.24.)

- вектор смещения j-го атома;

A_k – амплитуда смещения для любого типа волн;

- единичный вектор поляризации нормальной моды, определяющий направление движения данной моды колебаний;

- радиус – вектор j-го атома решетки.

В данном случае под поляризацией понимают направление движения атомов при распространении колебательной волны, причем в трехмерной решетке выделяют продольную поляризацию ( ) и поперечную (  ). В общем случае под поляризацией понимают не только распространение волн, а траекторию. Существуют понятия круговой и эллиптической поляризации.

Математически можно показать, что каждому значению волнового вектора соответствуют три моды колебаний. Образуются три дисперсионных кривых (рис.4.12.).

Свойства дисперсионных кривых.

1. Все три ветви колебаний имеют различную поляризацию.

2. Скорость распространения продольной моды всегда выше, чем скорость распространения поперечной.

3. Явно выражено влияние анизотропии решетки.

4. Все разрешенные значения k находятся в пределах первой зоны Бриллюэна:

(4.25.)

Трехмерная решетка с базисом.

Пусть N – число ячеек, р – число атомов в базисе, тогда 3pN – число степеней свободы в кристалле. Для акустических колебаний мы имеем те же самые три ветви. Общее число ветвей равно 3р; число оптических ветвей – (3р-3). В общем случае в решетке с базисом движение атомов может быть представлено в виде суперпозиции 3pN нормальных колебаний. Каждому значению k соответствуют 3р значений частоты  (рис.4.13.)

Любое нормальное колебание рассматривается как гармонический осциллятор (в случае идеального кристалла). При наличии дефектов будут возникать локальные колебательные моды, имеющие частоты либо в запрещенной зоне, либо выше. Такие колебания быстро затухают, так как они имеют комплексное значение амплитуды.

Таким образом, сложные колебания сводятся к совокупности независимых волн, каждая из которых характеризуется волновым вектором и частотой.

Спектр нормальных колебаний.

В теории кристаллических решеток одним из главных вопросов является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам. В этом случае говорят о спектре нормальных колебаний. Существует понятие функции плотности колебательных мод по частотам g(), т.е. числа колебательных мод в некотором единичном достаточно малом интервале частот. Функция g() была различно описана Эйнштейном и Дебаем. Эти различия хорошо видны на графиках зависимости g(), изображенных на рис.4.14.

Таким образом, эйнштейновская частота является некой упрощенной частотой, в то время как частота Дебая есть предельная, а весь спектр нормальных колебаний согласно модели Дебая меняется от 0 до _D , причем

,

где 3N – число нормальных мод.

Рассмотрим распределение нормальных мод в k-пространстве. Обозначим функцию плотности нормальных мод в k-пространстве как g(k). В случае линейной цепочки для первой зоны Брилюэна можем записать:

, (4.26.)

где а – период решетки,

N – число колебаний,

Na=L, L – длина цепочки, являющаяся постоянной для данного кристалла.

Таким образом плотность колебаний (нормальных мод) в k-пространстве является постоянной, в связи с чем вводится понятие распределение колебаний по частотам, так как g() меняется дискретно.

Проведем аналогичный анализ для трехмерного кристалла:

.

Здесь N – число атомов в каждом направлении прямой решетки.

Для анализа колебаний нужно знать, каких частот больше. Следовательно, нужно знать распределение по .

Рассмотрим трехмерный кубический кристалл с ребром L. Число нормальных колебаний данного кристалла записывается в виде:

, где

V=L³. Однако, при более строгом расчете будем иметь следующую формулу:

3N= .

Учитывая, что фазовая скорость  и длина волны  записываются в виде

, , получаем

, откуда

, где (4.27.)

– величина связанная с плотностью упаковки атомов, т.е. число атомов в единице объема. Формула для _D выражает модель Дебая. Продифференцировав _D по , получим выражение для плотности нормальных мод в единичном интервале частот:

, (4.28.)

откуда видно, что функция g() – парабола.

Из формул (4.27.) и (4.28.) следует, что _D – некая физическая константа для данного типа кристалла (предельная частота), которой можно сопоставить некоторую энергию:

, где (4.29.)

K_Б – постоянная Больцмана,

 - температура Дебая.

Зная температуру Дебая, легко анализировать тепловые свойства данного конкретного кристалла. Если температура кристалла Т достигает значения , то в кристаллической решетке возбуждается весь спектр нормальных колебаний. При Т< какая-то часть колебательных мод «вымораживается», что влияет на свойства кристалла (теплопроводность, теплоемкость и т.д.)

При низких температурах (понятия высоких и низких температур относятся к определенному виду кристалла) многие свойства могут быть использованы только в квантовом представлении (пример см. далее).

Пример.

Металлы	, К		Кристаллы ковалентного типа	, К
Be Mg Ca Pb	1160 406 219 95		C (алмаз) Si Ge C (графит)	1910 658 366 660

Из примера видно, что кинематические свойства металлов меняются с увеличением массы атомов, а у кристаллов ковалентного типа температура  понижается с уменьшением жесткости связей в кристаллической решетке.

Экспериментально спектр колебаний решетки исследуется с помощью неупругого рассеяния тепловых нейтронов. В этом случае используется закон сохранения энергии, который записывается в виде:

, где (4.30.)

k_i, k_j – волновые числа соответственно i-го (налетающего) и j-го (рассеянного) нейтронов. Практически по разности определяют частоты, а затем и спектр рассеянных нейтронов.