§ 4.2. Колебания однородной струны.

Колебания однородной струны – это одномерная модель кристалла в случае, когда можно пренебречь дискретным строением на микроуровне.

Будем считать, что струна прямолинейна и бесконечна по длине.

Выделим некое поперечное сечение:

S – площадь сечения,

х – координата этого сечения,

х + х – некий элемент,

(х) – напряжение струны.

Так как колебания существуют, можем записать уравнение движения (считаем, что волна продольная):

(4.1.)

Пусть u – смещение,  - плотность материала струны, тогда уравнение движения (4.1.) можно преобразовать:

(4.2.)

Поделив это равенство на х, и учитывая, что х очень мало, уравнение движения для анализа распространение продольных волн в однородной струне примет вид:

(4.3.)

Учтем закон Гука: , где Е – модуль упругости материала в струне,

е – деформация ( ), тогда

. (4.4.)

Подставляя (4.4.) в (4.3.), имеем:

(4.5.)

Формула (4.5.) описывает волновое уравнение для продольных волн в струне.

Решение (4.5.) записывается в виде бегущей гармонической продольной волны:

, где (4.6.)

u₀ – амплитуда волны,

k – волновое число,

i – мнимая единица.

После подстановки u в (4.5.) с учетом соотношения между линейной и циклической частотой (=/2), получаем дисперсионное соотношение (закон дисперсии):

, где (4.7.)

- есть постоянная, зависящая от материала струны.

Нетрудно показать, что дисперсионное соотношение для случая продольных волн в бесконечно однородной продольной струне записывается так:

, где (4.8.)

_l – фазовая скорость упругой продольной волны.

Следствия из закона дисперсии.

1. Для данного материала фазовая скорость упругой продольной волны есть величина постоянная.

Пример. Стальная струна: E=2.1*10¹¹ Па, =7.8*10³ кг/м³, то _l=5000 м/с

2. Для упругой волны, распространяющейся в неограниченной протяженной среде, частота колебаний линейно связана с волновым числом.

3 . Модуль волнового вектора может меняться от нуля до бесконечности, т.е. может возбуждаться бесконечное число колебательных мод. Следовательно, частота колебаний тоже меняется от нуля до бесконечности ( ; ).

4. В трехмерной среде процессы распространения упругих волн намного сложнее, чем волн в струне. При этом, однако, основные закономерности сохраняются.

В непрерывной однородной среде (континууме) может быть возбуждено бесконечное число нормальных колебаний.

§ 4.3. Колебания цепочки с одноатомным базисом.

Зададимся целью установить вид дисперсионной зависимости для цепочки атомов, у которой дискретность присутствует в явном виде .

Одномерная цепочка атомов – модель, в которой распространяются только продольные волны (рис.4.5., рис.4.6.).

a) Состояние равновесия (рис.4.5.):

T=0;

a – постоянная решетки;

m – масса атома;

 - силовая постоянная связи, характеризует силу связи между частицами.

Закон Гука:

(4.9.)

Учитываем взаимодействие только между ближайшими атомами (для получения уравнения движения в более простом виде).

б) T>0 (атомы совершают колебания);

величина a не является постоянной;

u_n – смещения.

Координаты атомов:

а) (модуль вектора трансляции)

б)

x₁ - изменение расстояния между атомами с номерами n и (n-1)

Запишем уравнение для результирующей силы, считая силы взаимодействия между атомами квазиупругими:

F- результирующая сила, действующая на n-ый атом.

Уравнение движения для n–го атома имеет следующий вид:

, где (4.10.)

u₀ – амплитуда;

;

 – циклическая частота данной нормальной моды.

Можно записать выражение, определяющее нормальные моды колебаний, в случае, если атомы цепочки колеблются с одинаковой частотой:

После математических преобразований получаем:

,

откуда имеем дисперсионное соотношение для линейной одноатомной цепочки:

(4.11.)

Учитывая, что (k) – функция четная, можем записать закон дисперсии для линейной одноатомной цепочки:

(4.12.)

Следствия из закона дисперсии:

• Физически >0. Знак “-“ соответствует отрицательным значениям k, т.е. определяется направление волны.

• Частота  не зависит от номера атома, так как все атомы колеблются с одинаковой частотой, откуда следует, что данные колебания являются нормальными.

• Можно определить _max, достигаемое при и , причем  не может принимать значение, меньшее, чем удвоенный параметр решетки (_min=2a). В линейной цепочке атомов с дисперсионным строением частоты колебаний ограничены (реально _max принимает значения в диапазоне 10¹³10¹² Гц) – это главное отличие от колебаний в струне. В данном случае нет физического смысла говорить о волне, которая охватывает не более, чем 3 атома. Наличие _max и _min есть ничто иное, как следствие дискретности цепочки атомов. Дискретность проявляется и влияет на закон дисперсии.

• При малых значениях k (>>a) дисперсионное соотношение записывается в виде: (случай непрерывной однородной струны), где С – постоянная, равная фазовой скорости волны _l:

(4.13.)

Основное отличие дискретной цепочки атомов от непрерывной среды есть отсутствие пропорциональной зависимости между  и k при больших значениях k. Дискретность начинает проявляться лишь при малых , сравнимых по величине с параметром решетки а. Причина данного явления заключена в дисперсии волн.

З аметим, что короткие волны распространяются гораздо медленнее вследствие инерции масс атомов цепочки, т.е. скорость распространения волны вдоль дискретной цепочки атомов зависит от длины волны, а, следовательно, и от частоты. Фазовая скорость распространения волны, равная , для струны является постоянной. Существует также групповая скорость, отражающая корпускулярный эффект и равная скорости распространения группы волн (см. рис.4.7., рис.4.8.).

В се вышеприведенные рассуждения справедливы с учетом того, что все возможные значения колебательных мод лежат в первой зоне Бриллюэна кристаллической решетки, т.е. в интервале .

Примечание. Наряду с колебаниями, распространяющимися в цепочке, могут существовать колебания, имеющие частоту, превышающую предельную. Это возможно в близи дефекта, так как масса дефектного атома может быть меньше, чем масса атома кристалла, что приводит к увеличению частоты. Математически любое нарушение периодичности кристаллической решетки обеспечивает возможность возникновения локальных колебаний в ближайшей окрестности дефекта.

Кроме того, необходимо учесть, что реальный кристалл имеет границы раздела. Следовательно, волна, проходя через весь кристалл, может частично отразиться. Условия колебаний на поверхности и внутри кристалла существенно отличаются. Нормальные моды колебаний, имеющие характеризуют стоячие волны, которые являются результатом сложения двух бегущих волн с равными амплитудами и длинами, но распространяющимися в противоположных направлениях.

Циклические (граничные) условия Борно – Кармана.

Теория Борно-Карман позволяет преодолеть противоречия в различности колебаний на концах и внутри цепочки. В данной теории цепочку рассматривают в виде кольца, в котором номер последнего атома совпадает с номером первого: n=N, где N – конечно.

Условие цикличности: если N достаточно велико, то колебательные свойства кольца будут мало отличаться от свойств линейной бесконечной цепочки, т.е. , где u – смещение атома. Фактически индексы (n+N) и n относятся к одному и тому же атому, если цепь замкнута в кольцо.

Если выполняется следующее соотношение:

, n=0, 1, 2, … , то решение уравнения движения Ньютона будет удовлетворять граничным условиям Борно-Кармана.

Волновое число k квантуется, т.е. имеет дискретные значения, каждому из которых соответствует дискретное значение частоты. Всего k может принимать N значений (здесь N – это не только число атомов, но и число элементарных ячеек).

, где (4.14.)

n – текущее значение,

N – число атомов,

а – период решетки.

Вообще, интервал [-/a; /a] – первая зона Бриллюэна, в пределах которой существует N дискретных значений волнового вектора k. Можно показать, что выражение для волны имеет вид:

,

причем величина смещения u_n и тип волны не изменятся, если текущее значение k заменить на (k2/a), так как дисперсионная зависимость (k) периодична в обратном k-пространстве (с периодом 2/a).

Итак, для анализа колебаний цепочки атомов можно ограничиться рассмотрением лишь первой зоны Брилюэна, так как все возможные значения частот охватываются интервалом [-/a; /a]. Запишем соотношение векторов прямой и обратной решетки для данного случая:

, (4.15.)

где 2/а - элементарный вектор обратной решетки,

n – некое целое произвольное число.

Данное соотношение еще раз иллюстрирует, что колебательные процессы будут повторяться с периодом 2/а.

Реальное движение атома представляет собой суперпозицию всех нормальных колебаний распространяющихся в кристалле. Независимо от природы сил связи в кристаллической решетки и при учете последующих координационных сфер атома (учет наличия дальнодействующих сил), выводы о характере колебаний не изменятся, т.е. будут те же, что и в случае с простой моделью.