Раздел IV: динамика кристаллической решетки

Заметим, что в предыдущих параграфах решетку считали неподвижной, однако колебательные движения атомов существуют. Рассмотрим кристаллическую решетку, учитывая наличие вышеуказанных колебаний.

§ 4.1. Гармоническое и адиабатическое приближение. Нормальные колебания.

Под приближением понимаются некоторые упрощения, огрубления.

При приближении учитывают, что:

1) среднее положение колеблющихся атомов совпадает с узлами кристаллической решетки, а величина отклонения всегда во много раз меньше периода решетки, межатомного расстояния a, т.е.:

, где

u – максимальное отклонение атома от положения равновесия.

Необходимо заметить, что движение любого атома связано с движением атомов в кристаллической решетки, а не есть независимое.

2 ) вместо движения отдельных атомов рассмотрим коллективное движение, так как между частицами действуют силы связи, то есть конгломерат атомов, соединенных на пружинках (модель см. на рис.4.1.).

Д вижение в упорядоченной среде передается в форме упругой волны (коллективное движение), т.е. некоторая механическая модель кристаллической решетки, когда смещение атома от состояния равновесия происходит по закону Гука.

Около положения равновесия изменение потенциальной энергии, а также силы взаимодействия между атомами. На рис 4.2. показано, что вблизи положения равновесия можно считать зависимость F(r) почти линейной.

r₀ – равновесное состояние между частицами, при котором F_от=F_пр., u=min.

Изменение расстояний между атомами приводит к изменению соотношения между F_от и F_пр.

F_от, F_пр. изменяются по прямой. , где

 - коэффициент, зависящий от природы связей в атомах кристалла.

С увеличением температуры кристалла отклонение от положения равновесия также увеличивается.

Данные рассуждения послужили основой для формирования новой теории

Рис. 4.2.

«гармоническое приближение», смысл которой заключается в том, что любое сложное колебание можно представить в виде суммы простых гармонических (синусоидальных) колебаний (осцилляторов). Математически: разложение в ряд Фурье.

Упругая волна – это колебание, подчиняющееся закону Гука, являющееся гармоническим.

Любая волна представляет сумму движений: два поперечных и одно продольное (в 3х мерном пространстве). Следовательно, нужно учитывать наличие в кристаллах как продольных, так и поперечных колебаний.

Для получения взаимосвязи между физическими свойствами и колебательными движениями в кристалле используем гармоничное приближение (так как оптические свойства, свойства теплоёмкости и т.д. хорошо описываются в данном приближении). Однако, наблюдаются эффекты ангармоничности т.е. существуют свойства, которые плохо описываются в гармоническом приближении (термическое расширение, т.е. изменение параметров решетки при увеличении температуры). Для каждого атома можно записать уравнение движения Ньютона ( ), решение которого записывается в виде гармонической волны.

Существует еще одна теория под названием «адиабатическое приближение».

Так как движение атомов возмущает движение всех частиц (ядер, электронов), то для строгого описания этого движения необходимо учитывать движение всех частиц для всех состояний кристалла.

Однако, в связи с тем, что масса ядра много больше массы электрона, а скорость первого на три порядка ниже скорости второго, в соответствии с данной теорией можно считать, что состояние электрона определяется положением ядра, т.е. электрон приспосабливается к движущемуся ядру. Именно такое описание движения атомов получило название «адиабатическое приближение».

Используя понятия адиабатического и гармонического приближений, можно ввести понятие нормальных колебаний. Нормальные колебания (нормальные моды) – коллективные колебания атомов решетки, совершаемые с одинаковой частотой.

Число нормальных колебаний равно числу степеней свободы всех частиц кристалла.

Пусть N – общее число атомов,

тогда 3N – число степеней свободы.

Т.к. сам кристалл имеет 3 поступательных и 3 вращательных степеней свободы, то (3N-6) – число нормальных колебаний.

Учитывая, что N  10²³ см^-3, можно считать, что в рамках адиабатического приближения все частицы кристалла имеют 3N степеней свободы.

Рассмотрим влияние температуры Т на колебания:

1. если Т>0, то атомы совершают тепловые колебания;

2. если Т=0, то существуют «нулевые колебания», которые являются движением квантового характера, что является следствием соотношения неопределенности , где

x – неопределенность в координате,

p – неопределенность в импульсе,

ℏ - постоянная Планка.

Т.е., если смещение нулевое (х=0), то импульс стремится к бесконечности и, следовательно, к бесконечности стремится и кинетическая энергия частицы, что физически невозможно.

Итак, даже при абсолютном нуле температуры Т существуют колебания квантового характера.

В кристалле имеется 3N нормальных колебаний, которые могут быть представлены в виде 3N волн с разными частотами, причем каждая частота есть характеристика нормальной моды колебаний. Реальное движение отдельного атома – это суперпозиция всех 3N нормальных колебаний.

В общем случае теория трехмерного пространства кристалла очень сложна. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать колебания одномерной модели атома.