§3.2. Равновесная концентрация дефектов по Шоттки.
При рассмотрении данного вопроса введем некоторые приближения:
объем кристалла не зависит от температуры;
дефекты не влияют друг на друга (при условии, что n<<N);
тепловые колебания решетки не зависят от наличия дефектов.
Введем следующие обозначения:
-
энергия образования дефекта по Шоттки
(является постоянной для
данного кристалла и не зависит от температуры);
k – постоянная Больцмана;
W – термодинамическая вероятность (число способов осуществления
макросостояний за счет микросостояний);
n – число дефектов в кристалле;
N – число атомов в кристалле.
В случае рассмотрения равновесной концентрации дефектов по Шоттки изменение энтропии
,где
(3.2)
– изменение
колебательной энтропии, которой можно
пренебречь, а
- изменение конфигурационной энтропии.
В итоге
.
(3.3)
Конфигурационная энтропия – это энтропия, которая зависит от способов расположения частиц в пространстве.
Изменение энтропии можно найти как
,
где
(3.4)
W - термодинамическая вероятность (характеризует число способов размещения n вакансий по N узлам кристаллической решетки):
.
(3.5)
Для расчета равновесной концентрации воспользуемся формулой изменения свободной энергии при образовании дефекта:
,
(3.6)
где изменение внутренней энергии
.
(3.7)
Изменение свободной энергии
.
Для того чтобы избавиться от факториала, воспользуемся формулой Стирлинга:
.
(3.8)
В итоге
(3.9).
Далее
минимизируем
,
взяв производную по n
при T=const,
что будет соответствовать выполнению
условия минимума свободной энергии:
.
Так как N>>n, то окончательная формула для расчета числа дефектов по Шоттки в кристалле:
(3.10)
А для нахождения числа дефектов в единице объема нужно каждую часть формулы (3.10) разделить на N.
Замечания:
1)Уравнение (3.10) является уравнением для нахождения равновесной концентрации дефектов по Шоттки в условиях термодинамического равновесия.
2)При постоянной температуре можно рассчитать равновесную концентрацию дефектов, зная энтропию образования дефектов.
3)Равновесную концентрацию дефектов можно определить из прямого эксперимента, используя физические свойства материалов (плотность, электропроводность).