3.ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1.Геометрия масс твердого тела

Вдекартовой системе Охуz радиус-вектор центра масс тела характе-

ризуют вектор-строкой из трех координат, а тензор инерции твердого тела

—квадратной симметрической матрицей третьего порядка, элементами которой служат три осевых и три центробежных момента инерции. Тензор инерции тела в его точке О и радиус вектор центра масс являются его мерами инертности на сложных вращательных и произвольных движениях. Совокупность этих величин в достаточной степени характеризует распределение массы в твердом теле относительно выбранных осей координат и начала координат. Будут рассмотрены девять скалярных величин, объединяемых в две величины: в шестиэлементный тензор инерции JO в точке О тела и трехэле-

ментный радиус-вектор rc центра масс тела. Десятой скалярной характери-

стикой тела является его масса. Примечание

oВектором, допускающим геометрическое изображение в виде стрелки определенной величины и направления, называется величина, задаваемая тройкой чисел в системе отсчета и правилом перепроецирования вектора на другую, повернутую, систему отсчета.

oТензором инерции тела в точке О называется физическая величина, задаваемая симметрической матрицей, содержащей шесть различных элементов вместе с правилом перепроецирования (перерасчета) элементов матрицы на повернутую систему координат.

Вкачестве геометрического образа тензору инерции сопоставляют трехосный эллипсоид. Для краткости, тензором инерции тела называют матрицу инерции тела, найденную в системе отсчета с началом в точке O. При этом правило перерасчета на повернутую систему отсчета подразумевается.

Следует отметить, что достаточно знать тензор инерции только в одной точке тела, поскольку имеются формулы пересчета на любую другую точку.

3.2. Статические моменты массы и координаты центра масс тела

Рассмотрим произвольное абсолютное твердое тело в системе координат Охуz, жестко связанной с телом. Тело может двигаться в пространстве произвольным образом, но по отношению к сцепленной системе Охуz оно остается неподвижным. В связи с этим в данном разделе можно не обращать внимания на движение тела, считая его неподвижным. Обозначим через m и V массу и объем тела, ρо = m/V— среднюю плотность тела. Разобьем его ус-

ловно на бесконечное множество бесконечно малых частиц, которые примем за материальные точки. В результате имеем бесконечное, несчетное, «конти-

29

нуальное» множество материальных точек. Введем обозначения: dm и dV — элементарная масса и элементарный объем произвольной бесконечно малой частицы тела, x, y, z — координаты частицы тела, ρ(x, y, z) = dm / dV — ло-

кальная плотность частицы в точке x, y, z тела. Масса тела равна интегралу по объему от локальной плотности

В случае однородного тела, т.е. при ρ = const , имеем соотношение m = ρV .

Статическими моментами массы тела относительно осей координат называют скалярные величины, определяемые формулами

Моменты массы характеризуют распределение массы тела по отношению к плоскостям Оуz, Оzх и Оху имеющим нормали Ох, Оy, Оz. Пусть, например, плоскость Оуz (с нормалью Ох) рассекает тело на две симметричные части. Тогда sx = 0 , поскольку в интегральной сумме каждому элементу xdm

сопоставляется симметрично расположенный элемент -xdm.

Центром масс тела называют геометрическую точку C, координаты которой находятся как отношение статических моментов массы к массе тела

yc = sy / m, zc = sz / m, (3.3)

Центр масс тела можно вычислять приближенно методом разбиения тела на множество малых конечных элементов. Разобьем тело на n частиц, массы ко-

торых равны mi= ρiVi (i =1,n ), где ρi— средние плотности частиц, xi, yi, zi —

координаты центров частиц. Тогда координаты центра масс тела определяются через координаты и массы конечных элементов (частиц) по формулам

Формулы (3.4) показывают, что каждая координата центра масс тела представляет собой “взвешенное” среднее значение координат центров масс частей тела. Центр масс тела можно точно находить по формулам (3.4) в случае, если тело разделено на однородные части правильной геометрической формы, для которых известны центры масс, либо если тело разделено на такие конечные элементы, для которых точно известны координаты центров масс. Тела с полостями можно рассчитывать по методу отрицательных масс, заменяя их сплошными телами, к которым присоединены тела, состоящие из полостей, заполненных условно отрицательными массами.

Скалярные выражения (3.3) объединяем в одно векторное выражение, определяющее радиус-вектор центра масс тела:

Три скалярных выражения (3.4) эквивалентны выражению радиус-вектора центра масс тела через радиус-векторы частей тела:

30

Здесь rc и ri — радиус-векторы центра масс тела и центров масс конечных

элементов тела, m - масса тела.

Центр масс тела сложной формы можно находить экспериментально, путем последовательного подвешивания тела на нитях в различных угловых положениях. Он находится на пересечении соответствующих отвесных линий, проведенных в теле через точки подвеса. Применяется также метод установки тела с одновременной опорой на ось и весы и использования показаний весов при решении уравнений статического равновесия.

Если считать силы тяжести частей тела параллельными силами, то центр мас с тела и центр тяжести тела есть одна и та же геометрическая точка. В космических задачах центр масс и центр тяжести тела нередко считают разными точками, в связи с тем что силы тяжести частей объекта считают непараллельными силами, пересекающимися в центе Земли. Расстояние между центром масс и центром тяжести спутника создает небольшую «маятниковость», влияющую на угловые движения космического объекта.

Пример. Найти координаты центра масс однородной пластины, состоящей из прямоугольника размера 4x2 см и квадрата 6x6 см с отверстием радиуса 1 см (рис.4). Удельная масса пластины ρ кг/см2 . При решении применить метод отрицательных масс.

Рис. 4. Центр масс однородной тонкой составной пластины с отверстием

Решение. Массы прямоугольника, квадрата без отверстия и “отрицательная масса” отверстия: m1 = 8ρ, m2 = 36ρ, m3 = – πρ, m=(44 – π)ρ. Координаты цен-

тров масс фигур: С1 ( 2, 0), С2 (7, 0), С3 (7, 1).

Вычисляем координаты центра масс всей пластины:

xc = (m1 x1 + m2x2 + m3x3) / m yc = (m1 y1 + m2y2 + m3y3) / m

отсюда

xc = 6,02 (см)

yc=– 0,08 (см)

Центр масс однородной тонкой пластины называется также центром тяжести площади геометрического сечения.

31