нальности (∂f ∂ϕ)2 . Отсюда видно, что коэффициент инерции объекта зави-

сит от выбора обобщенной координаты и может быть пересчитан.

КЭ нестационарной голономной одностепенной системы имеет струк-

туру квадратного полинома относительно обобщенной скорости q&, коэффи-

циенты которой в общем случае зависят от q и t:

2T = aq&2 +2a1q& +2a0 , при a = a(q,t), a1 = a1 (q,t), a0 = a0 (q,t) (5.10)

Размерность коэффициентов a, a0 ,a1 определяем по принципу Л.Эйлера: все слагаемые в выражениях должны иметь одинаковую размерность.

5.3. Мощность силы

Область пространства, в которой к материальному объекту приложена сила, называется векторным силовым полем. Эта область может быть трехмерной (например-шаровой), либо двумерной, либо представлять отрезок прямой или кривой линии. Обычно считают, что сила зависит только от координат (x, y, z) точки приложения силы, либо - от одной или двух координат, либо – постоянная по модулю и направлению. Допускаются также случаи, когда силы зависят и от скорости точки и от времени, т.е. сила задана в области пространства координат, скоростей, времени. Встречаются случаи, ко-

Согласно данному определению мощность силы есть положительный скаляр, если угол между силой и скоростью острый (в этом случае сила способствует движению, нарастанию кинетической энергии) и отрицательна, если угол тупой.(когда сила замедляет движение). Мощность силы равна нулю, если сила перпендикулярна к скорости точки приложения силы, или в случае, если точка приложения силы не имеет скорости.

Мощности в двух системах отсчета различны в случае, если системы движутся одна относительно другой, поэтому следует указывать систему отсчета, в которой вычисляется мощность сил.

Мощность сил трения, также как и других диссипативных сил, направленных против движения, отрицательна.

Мощность силы сцепления колеса с дорогой (если нет проскальзывания колеса) равна нулю, поскольку точка приложения силы не имеет скорости.

Рассмотрим случай, когда силы зависят только от положения точки при-

U (x, y, z) - функция положения точки приложения силы, т.е. – функция декартовых (или обобщенных) координат. В этом случае силу F(x, y, z) называют потенциальной, а “силовую функцию” U с обратным знаком, называют

74

потенциальной энергией: П(x, y, z) = −U (x, y, z) . Область пространства, в ко-

торой на тело действует потенциальная сила, называется потенциальным силовым полем. Под знаком производной можно добовлять любую константу, поэтому силовая функция и потенциальная энергия определяется с точностью до константы, определяющей уровень отсчета. В общем случае, потенциальную энергию можно определить как функцию П(q1,..., qn ) , получаемую

путем преобразования мощности к виду: P = −П&(q1,..., qn ) , где qs – обобщен-

ные координаты.

Пусть тело произвольно движется в пространстве, т.е. оно перемещается вместе с полюсом O со скоростью vO и вращается с угловой скоростью ω.

Мощность пары сил, приложенной к твердому телу, не зависит от скорости полюса. Она равна скалярному произведению момента пары сил и угловой скорости.

где M — момент пары сил, ω — угловая скорость твердого тела, которая, как известно, не зависит от выбора полюса. Мощность диссипативных пар сил отрицательна. Мощность пары сил не зависит от места приложения её к телу. Мощность пары сил трения в подшипнике отрицательная, поскольку момент трения и угловая скорость вращения противонаправлены.

Мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна скалярному произведению главного вектора R системы на скорость любого полюса тела, сложенному со скалярным произведением главного момента M 0 сил относительно этого полюса на угловую скорости тела:

5.4. Работа и потенциальная энергия

Элементарной работой силы в выбранной системе координат Oxyz (неподвижной или подвижной) называется бесконечно малая величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы в этой системе:

Здесь через d΄A обозначена бесконечно малая работа, совершаемая силой за бесконечно малый интервал времени, dr - элементарное перемещение, сонаправленное со скоростью точки. Штрихом отмечено, что d΄A не всегда является полным дифференциалом от некоторой функции.

Очевидно, что произведение Pdt равно элементарной работе d΄A:

и наоборот, мощность равна отношению элементарной работы к элементар-

Мощность, умноженная на малый интервал времени ∆t, есть приближенное значение работы ∆A силы за этот интервал, мощность приближенно равна работе силы за 1 сек. Работой силы за конечный интервал времени [t1, t2] называется определенный интеграл от мощности по времени:

Для расчета работы по данной общей формуле необходимо знать мощность как функцию времени или силу и скорость в виде функций только времени t. Но в некоторых частных случаях (случай потенциальной силы, случай постоянной силы трения при неизменном направлении движения) возможно вычисление работы без применения кинематических уравнений движения точки приложения силы, достаточно знать только начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим движение точки приложения силы по отношению к двум системам отсчета, движущимся одна относительно другой. Скорость точки в двух системах различна, поэтому и мощность силы будет различной. Таким образом, понятия мощность, работа, формулируется по отношению к конкретной системе отсчета, преимущественно – по отношению к ИСО или ПСО (инерционной или поступательной системам отсчета).

Определение Сила F называется потенциальной, а ее силовое поле -

потенциальным силовым полем, если выполнены два условия:

1) Сила удовлетворяет одному из следующих условий: сила постоянна по величине и направлению F = const или зависит только от координат точки (всех трех или части) ее приложения, т.е. F = F(x, y, z).

2) Элементарная работа d′A силы есть полный дифференциал от некоторой функции координат, либо мощность силы в любой момент времени равна полной производной по времени от некоторой функции Π(x, y, z)

Функция П(x,y,z), получаемая посредством преобразования выражения элементарной работы, либо из выражения мощности, называется по-

тенциальной энергией потенциального силового поля в точке M(x, y, z).

Тем самым векторному силовому полю силы F (x, y, z) сопоставляется

математически более простое поле скалярной функции трех переменных П(x, y, z), либо - функции двух переменных П(x,y), либо - функции одной переменной П(x)

Потенциальная энергия может быть представлена не только в декартовой системе координат, но также — в цилиндрической, сферической системах координат, в общем она является функцией некоторых обобщенных коорди-

нат П(q1, q2, q3).

76

Поверхности, определенные уравнением П(q1, q2, q3)=C, где C - произвольно назначаемый постоянный параметр, называются эквипотенциальными поверхностями.

Заметим, что под знаком дифференциала всегда можно прибавить или вычесть любую константу, так что функция П в формуле (5.18) определяется с точностью до константы. Константу произвольно назначают, например, полагают равной нулю, выбирая тем самым уровень отсчета семейства эквипотенциальных поверхностей.

Мощность потенциальной силы равна взятой со знаком минус произ-

водной по времени от потенциальной энергии P = −Π& . Подставим это выражение в определенный интеграл (5.17). Получим выражение работы потенциальной силы на конечном перемещении точки приложения силы, осуществленном за конечный промежуток времени:

Таким образом, работа потенциальной силы при ее перемещении за ин-

тервал [t1, t2] из точки M1(x1, y1, z1) в точку M2(x2, y2, z2) по любой траектории равна убыли потенциальной энергии на этом перемещении, т.е. равна разно-

сти потенциальных энергий в первой и второй точках потенциального поля. Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории, соединяющей две точки. В частности, работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории равна нулю, а работа при переходе точки приложения силы с эквипотенциальной поверхности П=С1 на поверхность П=С2 равна разно-

сти констант: А12=С1-С2.

Частный случай В качестве начальной точки M1(x1, y1, z1) возьмем любую точку M(x, y, z) потенциального поля, а в качестве M2(x2, y2, z2) возьмем такую точку поля M(xO, yO, zO), в которой потенциальная энергия принята равной

Получаем следующую физическую интерпретацию. Потенциальная энергия в любой точке M потенциального поля равна работе приложенной силы при перемещении ее точки приложения из положения M по любой гладкой или негладкой траектории в такое положение, в котором потенциальная энергия принята равной нулю, а также равна взятой со знаком минус работе силы на перемещении в положение M(x,y,z) из “нулевого” положения, в котором потенциальная энергия принята равной нулю.

Пример 1 Найдем потенциальную энергию силы тяжести G = −Gk , про-

тивонаправленной с ортом k вертикальной оси Oz системы Oxyz. Методом элементарной работы получаем:

d΄A = Gxdx + Gydy + Gzdz = –Gdz = – d(Gz) => П = Gz.

Методом мощности получаем

P = Gx x& +Gy y& +Gz z& = −Gz& = −(Gz) Π = Gz.

Таким образом, потенциальная энергия силы тяжести равна произведению веса материальной точки на высоту расположения точки M над плоскостью Oxy, удовлетворяющей условию z = 0. Здесь плоскость Oxy назначена

77

нулевой эквопотенциальной плоскостью. Потенциальная энергия силы тяжести отрицательна в точках, расположенных под плоскостью Oxy, при z < 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z1 на плоскость z = z2 определяется по формуле:

A12 = П1 – П2 = G(z1 – z2) = ± Gh при h = |z1–z2|.

Эта работа пропорциональна разности (убыли) уровней, она отрицательна, если первый уровень ниже, чем второй.

Замечание. В случае если ось Oz направлена вниз, получаем формулу с обратным знаком: П = –Gz.

Пример 2. Потенциальная энергии силы упругости пружины. Силовое поле горизонтальной пружины имеет вид горизонтальной оси Ox. Начало оси совместим со свободным концом недеформированной пружины, x — деформация растяжения пружины при x > 0, или сжатия пружины при x < 0. Упругая сила пружины F = −cxi , где i — орт оси x. Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

Вообразим, что пружина очень медленно растягивается внешней силой,

медленно нарастающей от нуля до значения F вн = cxi . Считаем, что в каждый момент времени упругая сила пружины уравновешивает внешнию силу.

Среднее значение величины силы F вн на интервале [0, x] равно: Fcр = cx / 2 .

Упругая сила пружины, совершая при этом отрицательную работу по сопротивлению растягиванию, запасает в пружине положительную потенциальную

геоцентрической системе отсчета, γ = 6,672·10–11 (м3/(кг·с2) — постоянная тя-

готения, r / r = e — орт радиус-вектора тела (материальной точки), проведенного из центра Земли, m1 = 6·1024 (кг)— масса Земли, m — масса тела, γm1 =

3986·1011 (м3/с2) - геоцентрическая гравитационная постоянная. Учитывая