Осевой момент инерции сечения равен площади сечения, умноженной на
квадрат радиуса инерции |
|
|
Jx = S ix², |
Jy = S iy², |
Jz = S iz². |
Здесь ix, iy, iz – табличные радиусы инерции соответствующих однородных тонких пластин.
Пример Известны табличные значения осевых моментов инерции однородного тонкого круглого диска радиуса r относительно оси симметрии Oz и осей Ox, Oy, расположенных в плоскости диска
iz = r / 2, ix = iy = r / 2 (м)
Площадь круга S=πr² . Отсюда находим полярный момент инерции
площади круга и два осевых момента инерции: |
|
|
Joz =S iz² =π r 4 /2, |
Jx = Jy =π r 4 /4 |
(м4 ) |
3.5.Центробежные моменты инерции твердого тела
Наряду с рассмотренными выше осевыми моментами инерции рассматриваются центробежные моменты инерции тела: σ1 =C10′σ0C10 , ε1 =C10′ ε0C10 . Они определяются следующими формулами:
J xy = −∫∫∫xyρdV , J xz = −∫∫∫xzρdV , J yz = −∫∫∫yzρdV (кг*м2), |
(3.14) |
где интегралы вычисляются по объему тела. Очевидно, что индексы в этих выражениях можно переставлять без изменения величин, следовательно, имеем равенства Jxy = Jyx, Jxz = Jzx, Jyz = Jzy. Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей х, у равен взятому со знаком минус интегралу по объему тела V от произведения координат х, у, умноженного на локальную плотность в точках тела ρ(x,y,z). Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными, равными нулю. В связи с этим не вводится понятие центробежных радиусов инерции, но можно рассматривать “удельные центробежные моменты” вида:
jxy = Jxy / m , jyz = Jyz / m , jxz = Jxz / m |
(м2), |
(3.15) |
Величины (3.14),(3.15) (также как и осевые моменты) зависят от направ-
ления осей и от выбора начала системы координат, причем
jxy <>0, jyz <>0, jxz <>0.
Ось Оz называется главной осью инерции тела в точке О, если равны нулю два центробежных момента, в которых упоминается эта ось: Jxz =Jyz = 0. Аналогично определяются главные оси инерции Ох и Оу. Если система Охуz выбрана так, что все центробежные моменты (3.14) равны нулю, то говорят, что Ох, Оу, Оz являются главными осями инерции в точке О тела. Известно, что для всякого тела в любом его полюсе существуют главные оси инерции. Направления главных осей зависят от выбора полюса.
Частные случаи
oПусть тело имеет плоскость материальной симметрии Оху. Тогда можно доказать, что ось z является главной осью инерции в точке О
34