Здесь последний множитель есть nxn-матрица - результат горизонтальной

конкатенации (сцепления) столбцов вида ∂A u′.

∂qi

Подставим (6.18) в (6.17), умножим справа на I = A−1 , и присоединим уравнение-обозначение q& = u . Получим систему 2n дифференциальных урав-

нений в форме Коши, представляемую системой двух матричных уравнений.

(n ×n2 ) -матрицы на n - вектор-столбец.

6.4. Матричное уравнение Гамильтона

Представим систему дифференциальных уравнений Лагранжа (6.17) в фазовых переменных Гамильтона. Фазовым вектором Гамильтона назовем вектор-строку переменных W =[ p,q] =[ p1,..., pn ,q1,...,qn ] в которой вместо обобщенных скоростей u1,...,un поставлены новые фазовые переменные - так называемые обобщенные импульсы p1,..., pn . Они связаны с обобщенными скоростями формулой замены переменных:

100

Обратную замену u = pI , выражающую обобщенные скорости через пере-

менные Гамильтона, будем позднее трактовать как дополнительную систему n дифференциальных уравнений вида:

Посредством дифференцирования по обобщенным координатам матричного тождества IA = diag[1,...,1] , находим выражения производных от обрат-

ной матрицы инерции, которое потребуется в дальнейшем:

Кинетическая энергия голономной стационарной системы в переменных Гамильтона при условии (6.21) получается в конечном счете формальной

Вычисление частных производных от кинетической энергии (6.24) в виду тождества (6.23) сводится к изменению знака, поскольку

Функцией Гамильтона H(p,q) называется механическая энергия системы, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергии, выраженная в перемен-

101

где Q% - вектор-строка обобщенных сил, выраженная в гамильтоновых пере-

менных по формуле (6.22). Здесь обобщенные непотенциальные силы следует выразить в переменных Гамильтона в случаях, если они зависят от обобщенных скоростей, что сводится к замене переменных в Q:

К системе 2n дифференциальных уравнений (6.31) обычно присоединяют отдельно заданные начальные условия, начальный фазовый вектор

Таким образом, математической моделью механического движения голономной стационарной системы в переменных Гамильтона является начальная задача Коши вида (6.31) (6.32). Эта модель в ряде случаев представляется более удобной по сравнению с моделью Лагранжа (6.20).

Частный случай. Пусть все приложенные силы потенциальны, а связи

Составление уравнений (6.33) осуществляется следующим образом: Сначала выбирается фазовый вектор Лагранжа V = [u,q], вычисляется кинетическая

энергия системы T = 12 uAu′ с целью определения инерционной матрицы A(q)

и обратной матрицы I (q) = A−1 и находится потенциальная энергия системы

102

П(q). Затем формально, без механической интерпретации, зная I(q), составля-

ется функция Гамильтона H = 12 pIp′+ П и выполняется над ней математиче-

ские действия ,указанные в уравнениях Гамильтона (6.33), при этом частные производные от I по обобщенным координатам вычисляются либо непосредственно, либо с привлечением выражений (6.23).

Уравнения (6.29) и (6.33) по форме проще уравнений Лагранжа (6.19), хотя с другой стороны уравнения Гамильтона требуют дополнительных действий – расчета начальных условий по формуле p0 =u0 A(q0 ) и выражения различных диссипативных сил, зависящих от обобщенных скоростей в гамильтоновых переменных по формуле u = pI .

Пример. Электродвигатель, аналогичный показанному на рис.18, установлен на платформе, вибрирующей в вертикальном направлении согласно заданному кинематическому уравнению y1 = h1 cos( pt) с ускорением

a = &&y1 j = −h1 p2 cos( pt) j . Вращение кривошипа не задано, но известен крутящий момент пары сил, приложенный к нему: M = M1k , где k - орт оси вращения. Известен момент пары сил трения в подшипнике M0 = −b0k , где k -

орт оси Oz, перпендикулярный плоскости рисунка. Найти систему динамических уравнений.

Решение. Заменим задачу динамики в поступательной системе отсчета Oxyz эквивалентной задачей в ИСО, но с добавлением в центрах масс подвижных

тел сил S1,S2 , равных следующим переносным силам инерции:

Вместо нестационарной в ИСО системы получаем движение в условной ИСО стационарной голономной двухстепенной механической системы с фазовым

Обратная матрица инерции

103

Находим

Q =[Q1,Q2 ]

Q1 = −(G1 +G2 + M / r3 ) +(S1 + S2 ) , Q2 = (G2 − S2 )r2 sinϕ − M0 + M1

Подставляя эти обозначения в (6.10) получаем систему четырех динамических уравнений в форме Коши, разрешенных относительно производных:

Здесь q =[ y,ϕ]–вектор строка положения системы, u =[v,ω] -вектор строка обобщенных скоростей.

К полученной системе четырех дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных, следует присоединить начальные условия, начальные значения фазовых переменных:

v(0) = v0 , ω(0) =ω0 , y(0) = y0 , ϕ(0) =ϕ0

Получим уравнения Лагранжа в фазовых переменных Гамильтона:

Выделять потенциальные силы из системы приложенных сил нет необходимости, поэтому полагаем П(q). Обобщенные силы Q1,Q2 представлены выше,

причем они не зависят от обобщенных скоростей, поэтому отпадает необходимость в их преобразовании. Согласно (6.27) получаем нормализованную систему четырех дифференциальных уравнений в форме двух матричных уравнений

104