Сцепляя горизонтально в строку два строчных уравнения, и применяя M- функции получаем матричное строчное дифференциальное уравнение в форме Коши

V& =V A + B при V =[v,r],

A =[−2s33(w)eye(3), ; -sp33(w,e)zeros(3,3)] B =[R / m − aO ] [eye(3)zeros(3,3)]

Начальные условия: V (0) =V0

2.7. Уравнения относительного движения в форме Даламбера

Разложим даламберову силу инерции S = −ma на три составляющие, принимая во внимание разложение (2.10) абсолютного ускорения на относительную, кориолисову и переносную составляющие. Получим

Векторы S r , Sc , Se называются относительной, переносной и кориоли-

совой силами инерции. Эти силы направлены соответственно против относительного, переносного и кориолисова ускорений. По модулю они пропорциональны модулям этих ускорений, Se = mae, Sc = mac, Sr = mar.

Кинетостатическое уравнение динамики (2.8) при обозначении (2.16) принимает вид

т.е. в любой момент времени равна нулю векторная сумма всех сил, включая даламберову силу инерции, разложенную на три составляющие: относитель-

ную, кориолисову и переносную силы инерции. Составляющие Sr , Sc , Se да-

ламберовой силы инерции зависят от выбора подвижной системы отсчета, т.е. выбор системы отсчета определяет способ разложения даламберовой силы.

Итак, в любой неинерциальной системе отсчета система приложенных к материальной точке сил уравновешивается относительной, кориолисовой и переносной силами инерции. Действие приложенных сил на связи уравновешивается противодействием массовых инерционных сил, приложенных к связям.

2.8. Основной закон динамики относительного движения

22

s=1

Следовательно, в любой неинерциальной системе отсчета можно применять второй закон Ньютона, но в предположении, что на материальную точку наряду с приложенными силами действуют переносная и кориолисова силы инерции. Эти две силы считаются фиктивными, поскольку в действительности они не приложены к материальной точке. Они существуют как две из трех составляющих даламберовой силы и могут рассматриваться как составляющие давления материальной точки на связи.

Уравнение (2.18) в более подробном виде:

Таким образом, в подвижной (неинерциальной) системе отсчета следует полагать, что на материальную точку действуют приложенные силы, а также - две инерционные силы, в подвижной системе материальная точка имеет ускорение, пропорциональное равнодействующей приложенных сил, переносной и кориолисовой сил инерции.

Уравнение (2.18) называют основным уравнением динамики относительного движения или законом динамики в неинерциальной системе отсчета. Оно эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений шестого

В трактовке (2.18) второго закона Ньютона формально можно считать, что к материальной точки приложена кориолисова и переносная силы инерции наряду с прочими силами, но не существует относительная сила инерции. Каждую задачу динамики в подвижной системе можно заменить эквивалентной задачей динамики в неподвижной системе с двумя дополнительными силами, определенного вида.

Частные случаи

•Если материальная точка движется в плоскости Охy, то имеем систему двух дифференциальных уравнений четвертого порядка, третье уравнение системы (2.20) можно отбросить.

•Если точка движется вдоль оси Ох, то имеем только первое дифференциальное уравнение системы (2.20). Два других уравнения являются алгебраическими и могут служить для определения реакций связей.

23

Замечание. Компьютерное решение задач динамики относительного движения целесообразно выполнять на основе уравнения (2.13), т.е. – без “силовой” интерпретации слагаемых. Вспомогательные понятия - дополни-

тельные обозначения Sc , Se являются избыточными при численных расчетах, но они создают полезные физические аналогии.

2.9. Случай поступательного движения системы отсчета

Допустим, что система Охуz движется поступательно (без вращения) в инерциальной системе, с ускорением полюса aO . В этом случае тождественно равны нулю векторы угловой скорости и углового ускорения системы: ω =0, ε =0. Тогда кориолисова сила инерции отсутствует, а вычисление пе-

реносной силы инерции упрощается. Векторное динамическое уравнение (2.11), а также уравнение (2.18) принимает форму

Система (2.21) дифференциальных уравнений, записанная в строку:

D2r+ao–R/m=[0,0,0], при R=∑Fs=[Rx Ry Rz], ao=[aox aoy aoz]

2.10. Случай поступательной системы отсчета с началом на поверхности Земли

Примем (с незначительной погрешностью) за инерциальную систему O1x1y1z1 геоцентрическую систему с началом в центре Земли и осями, направленными на звезды. В качестве поступательной системы Oxyz назначим систему с началом на поверхности Земли, и осями, направленными на звезды. Начало координат имеет ускорение ao = aoc=ω2h, где ω — угловая скорость Земли, h — расстояние начала координат от оси Земли. Силу земного гравитационного тяготения на широте расположения системы Oxyz обозначимGo = m gO, равнодействующую прочих приложенных активных сил обозна-

чим через F, переносная сила инерции равна − mao .

В таком случае векторное уравнение (2.21) принимает вид

Таким образом, если ускорение свободного падения считать равным g = gO − aO , то данную систему отсчета с началом на поверхности Земли

можно принять за инерциальную с незначительной погрешностью и применять в ней с высокой точностью второй закон Ньютона.

Отметим, что в таблицах для ускорения свободного падения проведены значения g , зависящие от широты места. В них учтено влияние вращения Земли, а также некоторое сжатие Земли вдоль ее оси вращения. Систему отсчета, жестко связанную с Землей, также принимают за инерциальную ввиду весьма медленного вращения Земли.

24

2.11. Прямолинейное движение материальной точки во вращающейся системе отсчета

Допустим, что подвижная система Oxyz равномерно вращается вокруг некоторой неподвижной оси Ох1 и в этой системе вдоль оси Ох движется материальная точка в условиях действия приложенных сил. Считаем, что

ω= const , ε = 0 , причем вектор ω расположен в плоскости Оxy, т. е.

ω= [ωx ωy 0]. В этом случае уравнение (2.12) несколько упрощается ввиду

Выпишем только первое дифференциальное уравнение и присоединим к нему начальные условия, которые считаем заданными. Получим задачу Коши:

т.е. получили математическую модель динамики прямолинейного движения материальной точки в равномерно вращающейся системе координат при заданном начальном состоянии.

Рис. 2. Тело на платформе, движущейся вертикально с ускорением aO

Пример 1 Тело массой m расположено на платформе, которая поднимается поступательно по вертикали с ускорением aO =3g м/с2 . Определить

давление тела на платформу и реакцию N платформы.

Решение. Считаем (рис.2), что в поступательной системе Оху к телу приложены сила тяжести G = mg , реакция платформы N и переносная сила инерции Se = −maO . Эти силы удовлетворяют векторному кинетостатическому уравнению равновесия G + Se + N = 0 .В проекции на ось у получаем алгеб-

25

раическое уравнение N – G – Se = 0 N = G + Se = 4mg. Давление тела на платформу по модулю равно реакции платформы, P = 4mg .

Таким образом, тело находится в условиях перегрузки, как будто ускорение свободного падения увеличилось в 4 раза. В живом организме распределенная масса создает давление на систему связей в виде массовых распределенных сил тяжести и массовых переносных сил инерции, что ощущается в форме внутренних напряжений.

Пример 2. Допустим, что платформа опускается с ускорением aO = g .

Тогда, очевидно, получим N = 0. В таком случае равно нулю давление тела на платформу и равно нулю давление частей тела между собой, т. е. тело находится в состоянии невесомости. Такое состояние невесомости испытывает, например, прыгун с трамплина или вышки и летчик при движении самолета по определенным параболическим траекториям.

Пример 3. Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной оси

Оz (рис. 3), с постоянной угловой скоростью ω = 2 с−1 . Оси Ох, Оу вращаются вместе с трубкой, причем Ох направлена вдоль трубки. Ось Oz направлена перпендикулярно плоскости рисунка. В трубке движется точечный груз массы m. В начальный момент времени груз занимал положение на отрицательной ветви оси Ох на расстоянии b и имел относительную скорость v ro , сона-

правленную с осью Ох.

Составить математическую модель в виде дифференциального уравнения движения груза и начальных условий. Путем решения задачи Коши найти кинематическое уравнения движения груза, и определить реакцию трубки.

Рис. 3. Движение тела в трубке, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz

Решение векторным способом. Решим пример, исходя из векторного уравнения (2.18):

1) Кинематика и статика.

На рисунке покажем начальное состояние материальной точки (начальные условия) [ x&(0) = vro , x(0) = x0= –b,] и ee произвольное «положитель-

ное» состояние [x& = vrx > 0, x > 0] с произвольным положительным значением

координаты x > 0 и проекции скорости vrx>0. Переносное и кориолисово ускорения точки:

26

ae = aeOC = ω2 x, ac = 2ωvr = 2ωx&.

Направление кориолисова ускорения ac для «плоских» задач можно

найти по правилу Жуковского, путем поворота вектора на прямой угол от вектора относительной скорости vr в направлении переносного вращения те-

ла, т.е. системы Охy. Либо кориолисово ускорение можно найти по общей векторной формуле ac = 2ω×vr , где вектор ω сонаправлен с осью Оz. Для положительного состояния покажем действующие силы. Сила тяжести G противонаправлена оси Оz, реакция гладкой трубки N перпендикулярна оси Ох и имеет две составляющие: Ny и Nz , параллельные, соответственно, осям

Оу и Оz.

2) Составим векторное и соответствующие скалярные динамические уравнения движения груза в трубе.

В соответствии с (2.18) и (2.20), получаем векторное динамическое уравнение и его проекции:

m&&r = G + N y + N z −mac −mae , mx&&= mae , N y / m −2ωx& = 0, −G + Nz = 0.

Из двух последних уравнений определяем динамические реакции связей,

N y = 2mωx&, Nz = G.

3) К дифференциальному уравнению присоединим начальные условия. Получаем начальную задачу Коши в виде линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, объединенного с начальными условиями

4) Решение задачи Коши.

Вычислим корни характеристического уравнения:

λ2 – ω2 = 0, λ1, 2 = ± ω.

Находим общее решение, частное решение посредством подстановки начальных условий. В результате находим частное решение в символьном виде

x = C1 exp (ωt) + C2 exp (–ωt) при C1, 2 = ± (vr0 ± ωx0).

5) Подстановка численных значений в буквенные выражения и анализ полученного решения.

В данном примере получаем С1 = 3, С2 = 8.

Второе слагаемое полученного решения с течением времени становится пренебрежимо малым и в результате координата будет изменяться по показательному закону х ≈ 3 exp (2t).

Процесс решения примера в среде MATLAB.

Применим динамическое уравнение в форме (2.13), левая часть которого имеет вид (2.15).

В данном примере имеем следующие значения угловой скорости, углового ускорения, ускорения полюса O и равнодействующей:

w=[0 0 wz], e=[0 0 0], R=G+N=[0, Ny-mg, Nz].

А также имеем

27

r = [x 0 0], D2r = [D2x 0 0], Dr = [Dx 0 0].

Определение М-функций function s=s33(w)

s=[cross(w,[1 0 0]); cross(w,[0 1 0]); cross(w,[0 0 1])];

function s=sp33(w,e) s=s33(w)^2+s33(e);

Список вещественных символов матричного дифференциального уравнения syms m x xo Dx D2x Ry Rz b Vox wz real

Векторы-строки угловой скорости, углового ускорения, радиус-вектора равнодействующих сил, ускорения полюса

w=[0 0 wz] e=[0 0 0] r=[x 0 0] Dr=[Dx 0 0] D2r=[D2x 0 0] R=[0 Ry Rz] a0=[0 0 0] Vo=[Vox 0 0] ro=[xo 0 0]

Левая часть матричного уравнения относительного движения

V=D2r+2*Dr*s33(w)+r*sp33(w,e)+ a0-R/m V=[D2x-x*wz^2, 2*Dx*wz-Ry/m, -Rz/m]

Решение ОДУ: x=dsolve('D2x-x*wz^2=0','x(0)=xo,Dx(0)=dxo') x = dxo/wz*sinh(wz*t)+xo*cosh(wz*t)

28