За материальную точку принимают тело пренебрежительно малых размеров,

атакже бесконечно малые частицы тела, на которые условно разделяют тело.

Вследующем разделе покажем, что каждому телу можно сопоставить материальную точку, посредством условной концентрации масс тела в его центре масс и параллельного переноса всех приложенных сил в центр масс.

2.4. Пример

Подпружиненный груз массы m движется без трения по горизонтальной плоскости вдоль оси Ox. Жесткость горизонтальной пружины равна c. В начальное мгновение t0 = 0 груз располагался на отрицательной ветви оси Ox на расстоянии b и имел модуль скорости v0, причем начальная скорость была направлена против направления оси (рис.1).

Найти:

•динамическое уравнение

•сформулировать задачу Коши и посредством её решения найти кинематическое уравнение движения точки

•Найти реакцию опоры N.

Решения найти в символьном виде, а также - при численных значениях b

= 0,2, v0 = 4, c = 8, m = 2, x&0 = −4. .

Решение.

1. Выпишем все данные задачи в буквенной и численной форме. По этим данным оформим рисунок, на который нанесем условия задачи. На ри-

сунке покажем начальное состояние объекта и его произвольное «положи-

тельное» состояние с произвольными положительными значениями координаты и скорости [v > 0, x > 0]. На объекте в положительном состоянии покажем приложенные силы (рис. 1), которые условно перенесем в центр масс (геометрический центр) тележки.

&

R = F +G + N , G = −mg = −mg j , N = N j

17

2. Рассматривая на рисунке «положительное» состояние объекта, по формулам (2.1), (2.2) составим векторное динамическое уравнение:

ma = F +G + N .

Движение вдоль оси Oy отсутствует, поэтому второе уравнение системы фактически является алгебраическим уравнением. Из него находим реакцию связи (опоры) N = mg. Остается одно дифференциальное (динамическое) уравнение m&x&+ cx = 0 .

3. Упрощаем вид динамического уравнения с целью уменьшения количества буквенных констант и присоединяем начальные условия, показанные на рисунке, начальный фазовый вектор. Получаем задачу Коши, записанную в символьном виде с тремя символьными константами: k,b,v0

4. Решаем задачу Коши в символьном виде. (В сложных задачах ищем численное решение задачи Коши на компьютере.) В данном случае существует символьное решение вида:

x = x0 cos (kt) + (vx0/ k) sin(kt) = –b cos(kt) – (v0/ k) sin(kt).

Оно соответствует гармоническим колебаниям с амплитудой A, со смещен-

5. Подставляя численные значения буквенных параметров, получаем окончательное кинематическое уравнение движения груза:

k = 2, A = 2.01,α = −1.67, x = −0,2cos(2t) −2sin(2t) = 2,01cos(2t +1,67).

Замечание. Динамическое уравнение, полученное для «положительного» состояния, как правило верно и для прочих состояний. Но в некоторых задачах целесообразна проверка правильности полученного дифференциального уравнения для различных «неположительных» динамических состояний. А именно, в задачах с сухим или квадратичным относительно скорости трением проверка приведет к появлению в динамическом уравнении двойного знака (±), поскольку в выражении силы имеется двойной знак. В задачах с вязким трением, выражаемым линейной нечетной функцией, такая проверка не требуется.

2.5. Второй закон динамики в кинетостатической форме Даламбера

Векторное уравнение (2.1) в результате перенесения всех векторов в левую часть и введения нового обозначения записывается в следующей даламберовой форме:

Это уравнение в проекциях на оси декартовой системы координат представляет собой систему трех скалярных уравнений

Вектор S = −ma имеет размерность силы, его называют силой инерции материальной точки. Уравнения (2.8) трактуются следующим образом: Любая материальная точка в ИСО движется так, что в каждый момент времени система приложенных к ней сил уравновешивается даламберовой силой инерции. Иными словами — система сил, включая силу инерции, удовлетворяет векторному уравнению “статического” равновесия (2.8) или — системе трех скалярных уравнений (2.9), эквивалентных векторному уравнению.

Силу инерции обычно называют фиктивной силой, поскольку она не приложена к материальной точке, все реальные приложенные силы уже содержатся в векторной сумме, стоящей в уравнении (2.8). Но можно условно применять и другую трактовку даламберовой силы инерции.

Будем применять упрощенную, формальную трактовку сил инерции. В случае, когда второй закон динамики записан в основной форме (2.1), считаем, что сила инерции не существует. Если закон записан в кинетостатической форме (2.8), то будем формально считать, что сила инерции существует и приложена к материальной точке. В том и другом случае для материальной точки записывается одно и то же векторное уравнение, но в разных обозначениях. Кинетостатическая форма удобна при определении реакций связей и решении прочностных задач в дисциплине «сопротивление материалов».

Условно представим себе, что материальная точка имеет вид бесконечно малой связи-капсулы, заполненной материалом. Действующие силы приложенны к внешней поверхности связи-капсулы, материал оказывает давление D изнутри. По закону Ньютона векторная сумма сил, действующих на безмассовую связь-капсулу равна нулю, поскольку mкапсa = 0 , отсюда

n

∑Fs + D = 0 . Сравнивая эти уравнения с (2.8), заключаем что даламберову

s=1

силу инерции можно трактовать как силу давления материальной точки на связи. Отметим, что в такой трактовке вторая массовая сила - сила тяжести материала также приложена изнутри. Согласно с замечанием выдающегося французского ученого П.Аппеля (1855-1930) при бросании камня поверхность ладони (связь) ощущает силу инерции камня в виде давления на руку. Но эта реальная сила приложена к связи, не приложена к камню и в этом смысле она считается фиктивной. Уравнение Даламбера (2.8) означает, что векторная сумма сил, приложенных к материальной точке и инерционных противодействующих сил, создаваемых этой точкой, равна нулю, удовлетворяют закону равенства действия и противодействия.

Геометрические (голономные) безмассовые связи объектов имеют разнообразные представления. Например, во вращающимся маховике, состоящем из множества материальных точек, можно мысленно выделить множест-

19

во связей, образующих безмассовую пористую структуру, к которой приложено множество внутренних сил давления: массовых сил инерции, массовых сил тяжести и приложенных внешних сил. Объединенная система сил вызывает деформации связей маховика и даже его разрушения при большой угловой скорости. Названная система сил удовлетворяет уравнениям статического равновесия.

2.6. Закон динамики относительного движения

Рассмотрим любую неинерциальную (подвижную) систему отсчета Охуz, которая произвольно движется в некоторой инерциальной (неподвижной) системе отсчета O1x1y1z1 Считаем, что подвижная система в общем слу-

чае имеет некоторую скорость vO и ускорение aO полюса О. При этом она вращается вокруг полюса с некоторой угловой скоростью ω и угловым ускорением ε, где векторы ω и ε могут изменяться по величине и направлению, образуя между собой переменный угол.

Радиус-вектор материальной точки в подвижной системе отсчета и его вектор-строку обозначим r(x, y, z) и r =[x y z]. Ускорение a1 точки в непод-

вижной системе О1 х1 у1 z1 назовем абсолютным ускорением, ускорение a1 точки в подвижной системе Охуz – относительным ускорением. Разложим a1

по теореме Кориолиса на три составляющие: относительное, кориолисово и переносное ускорения

Здесь переносное ускорение представлено суммой трех составляющих осестремительного ускорения, вращательного ускорения и ускорения полюса, производные от r вычисляет “относительный” наблюдатель, считающий

“свою” систему Охуz неподвижной, её орты i , j ,k – постоянными по направ-

лению.

Подставляя выражение (2.10) в уравнение (2.1), получим векторное динамическое уравнение относительного движения материальной точки в об-

Таким образом, закон (2.11) движения материальной точки в подвижной системе отсчета отличается от закона Ньютона в неподвижной системе &&r1 − R / m = 0 наличием в общем случае четырех дополнительных слагаемых.

Векторное уравнение (2.11), эквивалентно следующему матричному дифференциальному уравнению относительного движения материальной точки:

20

где в круглых скобках поставлена квадратная матрица, образованная из про-

екций векторов ω и ε по правилам (1.4)-(1.6). Уравнение (2.12) раскрывается в виде системы трех дифференциальных уравнений, записанных в строку.

Напомним, что ω% и ε% - кососимметрические (3x3) матрицы, а ω%2 симметрическая матрица.

В обозначениях системы MATLAB уравнения (2.12) записываются следующим образом:

D2r+2*Dr*w+r*[w^2+e]+a0-R/m=zeros(1,3) (2.13)

Здесь введены латинские обозначения ω → w, ε → e; вектор-строка равно-

n

действующей системы приложенных внешних сил R = ∑Fs =[Rx , Ry , Rz ] ;

s=1

вектор-строка ускорения материальной точки относительно подвижной системы отсчета D2r = [D2x, D2y, D2z]; строка относительной скорости Dr = [Dx Dy Dz] ; строка абсолютного ускорения начала координат подвижной

системы Oxyz a0 = [aox,aoy,aoz].

Пусть силы, приложенные к материальной точке, разделены на две группы: силы, заданные в проекциях на подвижную систему Oxyz с равнодействующей вектор-строкой R0 = [Rx0 , Ry0 , Rz0 ] и силы, заданные в проекциях на

где применены M-функции s33 и sp33 вида (1.7), (1.9), а все векторыстроки считаем представленными в проекциях на Oxyz. Система MATLAB раскроет матричное выражение (2.15), возвратив его в виде вектор-строки W из трех выражений. Сохранение только первого выражения достигается функцией W =W(:,1), сохранение первого и второго выражения достигается функцией W(:,3)=[ ]. Все символьные обозначения должны быть предварительно представлены функцией syms...real. Затем выражение (2.15) (вместе с начальными условиями r(0) =r0, Dr(0) = v0 вносится в операцию Dsolve() , возвращающую символьное или численное решение.

Уравнение (2.12) можно представить системой в форме Коши для век- тор-строки V = [v,r] , где v = r& . Имеем с добавлением нулевых слагаемых

21