Отметим, что операция левого деления основана на решении, получаемом по методу Гаусса и методу наименьших квадратов, поэтому она имеет применение и при решении системы алгебраических уравнений в различных особых случаях, а также – в случае переопределенной системы алгебраических уравнений.

2.ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.1.Инерциальные системы отсчета

Движение материальных точек и механических систем происходит в пространстве и времени. Системы координат, связанные с какими либо телами и часы для отсчета времени составляют системы отсчета движения. В теоретической механике предполагается, что движение системы координат не влияет на течение времени, поэтому внимание акцентируется на выборе системы координат.

Инерциальными системами отсчета (ИСО) называют такие системы координат, в которых выполняется второй закон динамики с пренебрежимо малой погрешностью.

За инерциальную систему координат в технике обычно принимают декартову систему, жестко связанную с поверхностью Земли. В этой системе второй закон динамики Галилея - Ньютона выполняется весьма точно для объектов, движущихся по Земле или над ее поверхностью. При этом вносится лишь небольшая погрешность, поскольку влияние медленного вращения Земли в основном учтено поправками в значение ускорения g вносимого для разных широт.

В задачах, требующих большой точности (например, в задачах движения в космосе) в качестве ИСО применяется геоцентрическая, планетоцентрическая и гелиоцентрическая системы координат.

Геоцентрическая система координат с началом в центре Земли и ося-

ми, направленными на звезды, применяется в качестве ИСО в окрестности Земли. При этом вблизи Земли в число приложенных к материальным точкам сил не следует включать в этой системе действие Солнца, Луны и других планет, поскольку эти действия в основном “компенсируются” переносными силами инерции, порождаемыми непрямолинейностью и неравномерностью движения центра Земли в космическом силовом поле. Следует принимать во внимание гравитационное, магнитное, и др. поля Земли, и различные локальные силы, действующие в земных условиях. Аналогичное утверждение верно и для любой другой планетоцентрической системы, принимаемой за локальную ИСО. Например, за локальную ИСО можно принять систему координат с центром на искусственном спутнике Земли и осями, ориентированными на звезды. Такую систему можно применять при изучении движения малых тел в небольшой окрестности спутника, при этом не следует учитывать притяжение Солнца, Земли, Луны и других планет.

13

Гелиоцентрическую систему координат с началом в центре солнечной системы и осями, направленными на звезды, с высокой точностью можно считать инерциальной в пределах солнечной системы. При этом следует принимать во внимание гравитационное, магнитное и другие силовые поля в пределах солнечной системы. Но при этом не следует принимать во внимание силовые поля, создаваемые другими космическими объектами Галактики, поскольку они уже в основном «компенсированы» криволинейностью и неравномерностью орбитального движения центра масс солнечной системы.

Названные системы отсчета можно назвать локально инерциальными или условно инерциальными, поскольку в их определениях содержатся условия.

Утверждения о геоцентрической и планетоцентрических системах содержат погрешность, обусловленную неоднородностью космического силового поля в окрестности планет. В некоторых случаях эти погрешности представляются существенными, недопустимыми. Например, при изучении морских приливов следует принимать во внимание влияние неоднородности силового поля тяготения Луны, которая проявляется на огромных массах воды. Энергия этого воздействия перераспределяется и концентрируется, имеет решающее значение при изучении явления приливов.

Отметим, что центр масс системы Земля-Луна расположен на линии, соединяющей центры масс двух планет, и перемещается под поверхностью Земли на глубине около 1707 км. Земля и Луна в процессе своего орбитального движения вращаются вокруг общего центра масс. Радиус Земли и Луны примерно равны 6380 км и 1740 км. Расстояние между Землей и Луной принимается 384400 км. За инерциальную систему координат можно также принимать систему с началом в центре масс системы Земля-Луна и осями, направленными на звезды. В окрестности системы двух планет следует учитывать поле тяготения Земли и Луны. А также желательно учитывать в той или иной мере неоднородность поля тяготения Солнца и планет солнечной системы в пределах такой окрестности, и принять во внимание, что главная часть этого воздействия компенсирована переносной силой инерции, определяемой по ускорению центра масс двух планет.

2.2. Поступательные (невращающиеся) система отсчета

Систему координат, начало которой совершает произвольное движение по отношению к инерциальной системе, при этом сохраняется неизменным направление осей, назовем поступательно движущейся системой отсчета или сокращенно — поступательной системой отсчета (ПСО). Основной характеристикой движения поступательной системы является ускорение ее начала координат (полюса), которое может быть постоянным или переменным по величине и направлению.

Например, на борту современных транспортных средств (самолетов, кораблей, ракет, спутников) устанавливают приборы, которые в непрерывном режиме определяют положение и движение некоторой поступательной

14

системы. Движение полюса такой системы характеризует орбитальное движения объекта, а углы поворота объекта относительно ПСО определяют ориентацию объекта.

2.3.Второй закон динамики Галилея-Ньютона

Винерциальной системе отсчета (ИСО) состояние любой материальной точки массы m в каждый момент времени t и ее движение на любом интервале времени удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению

диус вектор, R = ∑Fs , s =1, ..., n — равнодействующая сил, приложенных к

материальной точке.

Согласно динамическому уравнению (2.1) материальная точка имеет ускорение, пропорциональное равнодействующей приложенных к ней сил с неизменным коэффициентом пропорциональности 1/m, где m масса материальной точки. Иными словами, вектор ускорения материальной точки равен приложенной «удельной силе» R / m , приходящейся на единицу массы. Это утверждение и называется вторым законом динамики.

Третьим законом динамики называют закон равенства действия и противодействия, т.е. равенство нулю векторной суммы действия и противодействия. Первый закон динамики содержится как частный случай во втором законе, если считать известной ИСО.

В проекциях на оси координат уравнение (2.1) представляет собой скалярную форму закона Ньютона в виде системы трех дифференциальных уравнений шестого порядка:

Здесь Rx/m, Ry /m, Rz /m есть проекции удельной равнодействующей приложенных сил.

В нормальной форме Коши система (2.3) имеет вид системы шести

Под состоянием материальной точки в момент времени t понимается ее положение вместе с ее скоростью. Оно определяется шестью параметрами: тремя координатами точки и тремя проекциями скорости точки.

Обозначим через r и v — вектор-строку положения и вектор-строку скорости материальной точки: r = [x,y,z], v = [vx,vy,vz]. Тогда вектор-строка со-

Фазовый вектор содержит шесть скалярных элементов - три проекции скорости и три координаты.

Расширенным фазовым вектором материальной точки называют семиэлементную вектор-строку вида V% =[V ,t] =[vx ,vy ,vz , x, y, z,t]

Систему уравнений (2.4) можно представить в виде одного матричного дифференциального уравнения шестого порядка

Замечание. Проекции равнодействующей приложенных сил в общем случае являются функциями шести параметров состояния, а также — времени: R = R(V,t). Иногда встречаются случаи, когда приложенная сила зависит также и от ускорения. Например, сопротивление воды движению судов имеет составляющую, пропорциональную ускорению. Ее учитывают через так называемую «присоединенную массу» увлекаемой воды, зависящую от формы тела. Реакции связей, силы взаимодействия тел в общем случае также зависят от ускорений.

К системе (2.4) или (2.6) обычно присоединяют начальные условия, характеризующие начальное состояние материальной точки в момент времени t0=0. Они записываются в форме

V(0) = V0, или [vx(0) vy (0) vz(0) x(0) y(0) z(0)] = [vx0 vy0 vz0 x0 y0 z0]. (2.7)

Начальное состояние точки должно быть задано отдельно, в качестве дополнительной информации. Оно содержит необходимые сведения о предыстории движения.

Частные случаи

1)В случае движения материальной точки в плоскости Oxy имеем только первое и второе дифференциальные уравнения системы (2.3) и четыре начальных условия.

2)В случае движения по прямой вдоль оси Ох, имеем только одно уравнение из системы (2.3) с двумя начальными условиями вида x(0) = x0,

vx(0) = vx0.

Динамическая система (2.6) с начальными условиями (2.7) образует математическую модель движения материальной точки. Такого рода модели называют задачами Коши или начальными задачами. Встречаются также краевые задачи, в которых задано начальное и конечное положение материальной точки, а начальная скорость не задана.

В простых случаях система (2.6) – (2.7) имеет аналитическое символьное решение. Это решение можно получать на компьютере посредством использования пакетов символьной математики, содержащихся в системах MATLAB, Maple и др., либо построить «вручную» решение по математическим правилам. В более сложных случаях, когда символьное конечное решение не существует, применяют численные методы решения системы дифференциальных уравнений для конкретных числовых значениях постоянных параметров и численных значениях начальных условий.

Материальной точкой называют геометрическую точку, наделенную массой.

16