Равновесие пространственной системы сил

Обозначения

r=[x y z] – вектор - строка точки приложения силы F=[X Y Z] – вектор - строка силы

M=[Mx My Mz] – вектор-строка пары сил М-функции.

s36(r)

Матрица радиус вектора, размера 3x6, применяемая для вычисления бивектора силы W(r,F)=F*s36(r) и вычисления бивектора единичной силы e

W(r,e)=e*s36(r)

function s=s36(r) s=[s33(r),eye(3)]

function s=s33(r)

s=[cross(r,[1 0 0]),cross(r,[0 1 0]),cross(r,[0 0 1])]

Функция координат точки приложения неизвестной силы F=[0 Y Z], вносимой в матричное уравнение в виде F=[Y Z]

function s=sx26(r) s=s36(r) s(1,:)=[]

Функция для силы F=[X 0 Z] вносимой в виде F=[X Z] function s=sy26(r)

s=s36(r)

s(2,:)=[]

Функция для силы F=[X Y 0] вносимой в виде F=[X Y] function s=sz26(r)

s=s36(r)

s(3,:)=[]

Момент пары сил M=nM e , где e – орт момента, nM=|M| -модуль момента, M=nM e-вектор строка момента,

e=[ex,ey,ez].

Функция для вычисления бивектора Wp=nM*sp16(e) пары сил

function s=sp16(e) s=[e,zeros(1,3)]

s =[ ex, ey, ez, 0, 0, 0]

Матричное уравнение равновесия тела

∑Wi = 0 или Sum(Fi)*s36(ri)=zeros(3,6)

118

Квадратная полка весом G со стороной b находится в равновесии под действием реакции сферического шарнира F1, реакции цилиндрического шарнира F2 и реакции невесомого стержня T3. К полке приложен известный момент M. Найти реакции опор конструкции.

На рисунке неизвестную реакцию F1 формально показываем с положительными направляющими косинусами, а реакцию F2 перпендикулярную Oy формально направляем под острыми углами с Ox и Oz. При таком условии проекции реакций определятся с правильными знаками. Углы обозначаем латинскими буквами. Всем силам или ортам сил присваиваем порядковый номер, начиная с неизвестных сил.

Объявляем символьные скалярные величины syms X1 Y1 Z1 X2 Z2 T3 G M a b real

Через них выражаем векторы r1=[0 0 0]

r2=[0 b 0]

r3=[0 b -b/tan(a)] r4=[0.5*b 0.5*b 0] e3=[sin(a) 0 cos(a)] e4=[0 0 -1]

e5=[-1 0 0]

119

F1=[X1 Y1 Z1] F2=[X2 Z2]

Вектор-строка искомых реакций опор

V=[X1 Y1 Z1 X2 Z2 T3]

Матричное уравнение равновесия ( левая часть )

F1*s36(r1)+F2*sy26(r2)+T3*e3*s36(r3)+G*e4*s36(r4)+

M*[e5,zeros(1,3)]

Объединенная матрица координат неизвестных сил, полученная вертикальной конкатенацией блоков

L=[ s36(r1);sy26(r2);e3*s36(r3)]

Бивектор известных сил

U=G*e4*s36(r4)+M*[e5,zeros(1,3)]

Решение и упрощение решения.

V=-U/L expand(simplify(V))

V =[ 0, 0, 1/2*G-1/b*M, -1/2*tan(a)*G,

1/b*M, 1/2/cos(a)*G]

Динамика относительного движения материальной точки

М-функции

Кососимметрическая 3x3 матрица вектора-строки w=[wx wy wz] ( угловой скорости)

function s=s33(w)

s=[cross(w,[1 0 0]); cross(w,[0 1 0]); cross(w,[0 0 1])]

3x3 –матрица угловой скорости и углового ускорения function s=sp33(w,e)

s=s33(w)^2+s33(e)

Список вещественных символов матричного дифференциального уравнения

Векторы-строки угловой скорости, углового ускорения, радиус-вектора равнодействующих сил, ускорения полюса

w=[wx wy wz] e=[ex ey ez] r=[x y z] Dr=[Dx Dy Dz]

D2r=[D2x D2y D2z]

R=[R0x R0y R0z] a0=[a0x a0y a0z]

Левая часть матричного уравнения относительного движения

120

V=D2r+2*Dr*s33(w)+r*sp33(w,e)+ a0-R/m

Выделение первого динамического уравнения V(1,:) Выделение второго динамического уравнения V(2,:)

Объявление символьных начальных условий syms x0 y0 z0 dx0 dy0 dz0 real

Функция построения символьного решения системы трех ОДУ:

[x,y,z] = dsolve('D2x-2*Dy*wz+2*Dz*wy+x*(-wz^2- wy^2)+y*(wy*wx-ez)+z*(wz*wx+ey)+a0x-R0x/m =0, D2y+2*Dx*wz-2*Dz*wx+x*(wy*wx+ez)+y*(-wz^2- wx^2)+z*(wz*wy-ex)+a0y-R0y/m =0, D2z-2*Dx*wy+2*Dy*wx+x*(wz*wx-ey)+y*(wz*wy+ex)+z*(-wy^2- wx^2)+a0z-R0z/m =0',

'x(0)=x0, y(0)=y0, z(0)=z0','Dx(0)=dx0, Dy(0)=dy0, Dz(0)=dz0')

Процесс определения численного решения Задание исходных параметров системы

w=[1 -1 2];e=[0.5 0.3 0.1]; a0=[0.1 0.2 0.3]; m=2;R=[2 3 4]

Задание начальных условий y0=[0 0 0 0 0 0]

Задание интервала интегрирования ti=[0 4*pi]

Подготовка функции для задания динамического уравнения function dy = myde(t,y,w,e,a0,R,m)

dy = zeros(6,1);

% задание системы уравнений в форме Коши

dy(1) = y(4); dy(2) = y(5); dy(3) = y(6);

dy(4) = 2*y(5)*w(3)-2*y(6)*w(2)-y(1)*(-w(3)^2-w(2)^2)- y(2)*(w(2)*w(1)-e(3))-y(3)*(w(3)*w(1)+e(2))- a0(1)+R(1)/m;

dy(5) =-2*y(4)*w(3)+2*y(6)*w(1)-y(1)*(w(2)*w(1)+e(3))- y(2)*(-w(3)^2-w(1)^2)-y(3)*(w(3)*w(2)-e(1))- a0(2)+R(2)/m;

dy(6) = 2*y(4)*w(2)-2*y(5)*w(1)-y(1)*(w(3)*w(1)-e(2))- y(2)*(w(3)*w(2)+e(1))-y(3)*(-w(2)^2-w(1)^2)- a0(3)+R(3)/m;

Получение численного решения

[t,y] = ode45(@myde,ti,y0,[],w,e,a0,R,m);

121

ПРИМЕР. Динамика относительного движения материальной точки.

z1

y

w V

А

a x0<0

Рис.23 Положительная и начальная фазы движения точки в равномерно вращающейся трубе.

Тело равномерно вращается вокруг неподвижной оси z1 с угловой скоростью w, модуль которой |w|=nw, с нулевым угловым ускорением. e=0 Материальная точка A массой m перемещается вдоль оси x вращающегося тела. Найти кинематические уравнения относительного движения точки при заданном начальном состоянии [x&0 x0 ]. Начальное состояние материальной

точки в системных обозначениях: x(0)=x0, Dx(0)=dx0

Решение Список вещественных символов матричного уравнения

syms D2x Dx Ny Nz nG m x nw a x0 dx0 real

Список векторов-строк в подвижной системе 0xyz w=[nw*cos(a) nw*sin(a) 0]

r=[x 0 0], Dr=[Dx 0 0], D2r=[D2x 0 0] G=[-nG*sin(a) -nG*cos(a) 0]

N=[0 Ny Nz] R=N+G

a0=[0 0 0], e=[0 0 0]

Общий вид левой части первого матричного уравнения

V=D2r+2*Dr*s33(w)+r*sp33(w,e)+a0-R/m V =[D2x-x*nw^2*sin(a)^2+nG*sin(a)/m,

x*nw^2*sin(a)*cos(a)-(Ny-nG*cos(a))/m,-2*Dx*nw*sin(a)- Nz/m]

122

V(:,1)

D2x-x*nw^2*sin(a)^2+nG*sin(a)/m

Символьное решение дифференциального уравнения

x = dsolve(‘D2x-x*nw^2*sin(a)^2+nG*sin(a)/m ','x(0)=x0, Dx(0)=dx0')

x = (nG-cosh(nw*sin(a)*t)*nG+ cosh(nw*sin(a)*t)*x0*nw^2*sin(a)*m+ dx0*sinh(nw*sin(a)*t)*nw*m)/(nw^2*sin(a)*m)

Численные значения a=pi/4,nG=10,m=1,nw=2,Ny=3,Nz=3, x(0)=1, dx0=0

Решение с численными значениями параметров.

x = 5/2*2^(1/2)-5/2*2^(1/2)*cosh(2^(1/2)*t)+

cosh(2^(1/2)*t)

Здесь применены функции: гиперболический косинус и гиперболический синус, составленные из экспоненциальных функций:

cosh(kt) = (ekt +e−kt ) / 2, sinh(kt) = (ekt −e−kt ) / 2

123