Равновесие плоской системы сил

Обозначение в среде MATLAB

r=[x y] – вектор - строка радиус – вектора r точки приложения силы F=[X Y] – вектор - строка силы F

nf – модуль силы F

e = [ex ey] – вектор-строка орта e силы F=|F| e = nF e М-функции для плоской системы сил:

function s=s23(r) s=[[-r(2) 1 0];[r(1) 0 1]]

Формула для бивектора неизвестной реакции связи и для бивектора известной силы F

W(r,F)=F*s23(r)

W(r,F) = [ -X*y+Y*x, X, Y]

Формула для известной по направлению реакции связи F=|F| e F=nfe ( и для бивектора известной силы )

W(r,F)=nF*e*s23(r) , при nF=|F|

M – векторный момеsнт пары сил, параллельный оси Oz, M=|M|,Mz=±M – проекция момента пары сил.

Бивектор пары сил, направленной против или по часовой стрелки, имеющий известный или неизвестный момент M, направленный против часовой стрелки или в отрицательном направлении

W(M) = M*[±1 0 0]

Матричное уравнение равновесия плоской фигуры на плоскости Oxy

∑Wi = [0 0 0] или ∑Fi * s23(ri) = zeros(1,3)

Замечание. Неизвестные величины X,Y,M на рисунке можно показывать как положительные, тогда получаемые значения X и Y представляет проекции сил на оси x и y

ПРИМЕР Плоская система сил.

y

B

Рис.20 Равновесие балки в случае плоской системы сил.

114

Горизонтальная балка длиной b весом G=G3 прикреплена к стенке шарниром O и тросом , образующим с ней угол a. К балке приложена пара сил, направленная по часовой стрелки, M – известная величина (модуль) момента пары. Найти реакции связей в буквенном (символьном) виде, и вычислить значения неизвестных сил, приняв: а=pi/4, b=2 м, M=400 Н м, G=800 Н.

Решение.

Придадим сквозную нумерацию приложенным силам, начиная с неизвестных реакций. Тем самым определяется и нумерация радиус-векторов ri точек приложения сил. В данном случае силе G присвоен номер 3, реакция шарнира 0 обозначена F1=[X1 Y1]. Реакции троса T , известной по направлению, присвоим номер 2 и запишем в виде T2=T*e2 , где T- неизвестный модуль силы, e2 – известный орт силы,

e2=[-cos(a) sin(a)] – строка-орт.

Всистеме MATLAB следует предварительно объявить все исходные вещественные символьные величины

syms F1 X1 Y1 T G M a b real

Вэтих символах представим реакции связей и радиус-вектора сил.

G3=G, T2=T

F1=[X1 Y1] T2=T*[e2x e2y] r1=[0 0] r2=[b 0] r3=[b/2 0]

e2=[-cos(a) sin(a)] e3=[0 -1]

Вектор-строка искомых неизвестных реакций

V=[X1 Y1 T] или V=[F1 T]

Выражение левой части матричного уравнения равновесия, т.е. бивектор всей системы приложенных сил.

F1*s23(r1)+T*e2*s23(r2)+G*e3*s23(r3)+M*[-1 0 0]

Результат раскрытия выражения в трехэлементную строку:

[ T*sin(a)*b-1/2*G*b-M,X1-T*cos(a),Y1+T*sin(a)-G]

Конкатенация (объединение) слагаемых в матричном выражении, содержащем неизвестные сомножители. Соответственно вторые сомножители объединяются в столбец. Таким образом, выполняется горизонтальная конкатенация неизвестных и вертикальная конкатенация вторых сомножителей. Получаем выражение вида:

V*[s23(r1);e2*s23(r2)]+G*e3*s23(r3)+M*[-1 0 0]

Матрица координат неизвестных сил

L=[s23(r1); e2*s23(r2)]

Бивектор известных сил

U=G*e3*s23(r3)+M*[-1 0 0]

В развернутом виде:

U = [ -1/2*G*b-M,0,-G]

Матричное уравнение равновесия тела: V*L+U=[0 0 0]

115

Ответ в виде строки из трех неизвестных V=[X1 Y1 T] определяется в среде MATLAB функцией правого деления матрицы бивектора известных сил на матрицу координат неизвестных сил.

V=-U/L

V = [ 1/2*cos(a)/sin(a)/b*(G*b+2*M), 1/2*(G*b-2*M)/b,1/2/sin(a)/b*(G*b+2*M)]

Введение численных значений

b=2 G=800 a=pi/4 M=400

Численный ответ для V=[X1 Y1 T] V=[600 200 848.5]

ПРИМЕР. Равновесие системы двух тел.

y

F3 B

Рис.21 Равновесие пары шарнирно соединенных стержней.

Система двух шарнирно соединенных стержней закреплена на опорах в точках O и A под углом pi/6 к горизонтальной линии. Известны веса стержней G=G4,Q=Q5 и абсциссы точки приложения сил тяжести и линии реакций.

Определить реакции опор и реакции шарнира B. Вводим символьные скалярные величины

syms X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3 G Q G4 G5 b real

Векторы - строки, выраженные через введенные величины.

116

Из объявленных символов составляется вектор-строка неизвестных реакций опор

V=[X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3]

F1=[X1 Y1]; F2=[X2 Y2]; F3=[X3 Y3]

Составление левой части матричного уравнения равновесия тела OBA как единого твердого тела.

В это выражение дополнительно включаем равный нулю член F3*zeros(2,3), с нулевой матрицей zeros(2,3).Такое включение обеспечивает формальное присутствие в выражении всех неизвестных.

F1*s23(r1)+F2*s23(r2)+F3*zeros(2,3)+ G*e4*s23(r4) +Q*e5*s23(r5)

Затем отбрасывается тело BA, сохраняется его действия на тело OB в виде неизвестной реакции F3 и составляется левая часть матричного уравнения равновесия тела OB.

F1*s23(r1)+F2*zeros(2,3)+F3*s23(r3)+G*e4*s23(r4)

Выполняется конкатенация матриц в каждом уравнении, а именно, неизвестные множители соединяются в строку, а известные в столбец.

V*[s23(r1); s23(r2); zeros(2,3)]+ G*e4*s23(r4)+Q*e5*s23(r5)

V*[s23(r1); zeros(2,3); s23(r3)]+G*e4*s23(r4)

Выполняется горизонтальное объединение уравнений, что сводится к горизонтальной конкатенации вторых сомножителей и к горизонтальной конкатенации бивекторов известных сил.

L1=[s23(r1); s23(r2); zeros(2,3)] L2=[s23(r1); zeros(2,3); s23(r3)] U1=G*e4*s23(r4) + Q*e5*s23(r5)

U2=G*e4*s23(r4)

Матрица координат неизвестных сил

L=[L1 L2]

Бивектор известных сил

U=[U1 U2]

Символьное решение находится функцией правого деления матриц. V=-U/L

V =[ 1/2*Q+1/2*G, 1/4*Q+3/4*G, -1/2*Q-1/2*G, 3/4*Q+1/4*G, -1/2*Q-1/2*G, -1/4*Q+1/4*G]

Замечание. На рисунке “угаданы” правильные направления реакций F2,F3, они образуют тупые углы с осью Ox. Но можно было формально показать эти реакции под острыми углами к осям Ox,Oy, поскольку это не влияет на процесс решения задачи.

117