1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1.Матрицы и векторы

Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица, запол-

ненная числами, либо - постоянными или переменными символами.

В основном мы будем рассматривать квадратные матрицы и

нирования матриц-строк и отмечаемые фигурными скобками. Например, ра- диус-вектору r (x, y, z) и любым другим трехкомпонентным векторам, имеющим геометрический образ и правило проектирования на различные

Итак, вектор-строка векторного произведения равна строке b второго сомножителя, умноженной на кососимметрическую матрицу a% первого сомножителя, либо взятому со знаком минус произведению строки a первого со-

множителя и кососимметрической матрицы b% второго сомножителя. В MATLAB вектор-строка c векторного произведения a ×b возвращается функ-

цией cross вида c=cross(a,b).

В результате транспонирования выражений (1.3) и учета свойства ко-

Квадрат кососимметрической матрицы есть симметрическая матрица

7

=[−a2y −az2 ,axay ,axaz ;ay ax , −ax2 −az2 ,ayaz ;az ax ,az ay , −ax2 −a2y ]

Вэтих выражениях применен формат записи матриц в пакете МatLab, где строки отделяются знаком (;), а элементы в строке отделены пробелами или запятыми.

Библиотека M-функций в механике.

Кососимметрическую матрицу a размера (3 3) можно сформировать в

~ ×

среде МatLab на основе функции cross. А именно, для строки a =[ax ,ay ,az ] создадим M-функцию s33(a), возвращающую (3×3) матрицу вида

М-функция sp33(a,b) функция двух векторов-строк a , b (угловые скорость и ускорение вращающегося тела: a =ω, b =ε )

M-функции для пространственной системы сил.

В кинетостатике и статике при вычислении бивектора W силы

F=[X Y Z] можно применять (3×6)-матрицу радиус-вектора r =[x, y, z], опре-

где eye(3) = diag[1 1 1] — единичная диагональная матрица третьего порядка.

M-функция координат r = [x y z] точки приложения для силы F = nF e , заданной её модулем и ортом e , где nF=| F | =norm(F), e = [ex ey ez]

M-функция координат для силы F = [0 Y Z], вводимой без нуля как, F = [Y Z]

s=s36(r)

s=s(1, :) = [ ];

8

M-функция координат r = [x y z] силы F = [X 0 Z], вводим как F = [X Z]

s=s36(r)

s=s(2, :) = [ ];

M-функция координат силы F = [X Y 0], вводим как F = [X Y]]

s=s36(r)

s=s(3, :) = [ ];

M-функция координат для силы F = [X 0 0] ,вводим как F = X , без нулей

s=s36(r) s=s(1, :) ;

M-функция координат для силы F = [0 Y 0], вводим как F = Y

s=s36(r) s=s(2, :) ;

M-функция координат для силы F = [0 0 Z], вводим как F = Z

s=s36(r) s=s(3, :);

M-функция для момента пары сил с моментом M = M e = nMe , e =[ex ey ez ]– вектор-строка орта e . M = nM*e, бивектор пары W = nM*sp16(e)

M-функции для плоской системы сил, расположенной в плоскости Oxy

Вычисление (2×3)-матрицы координат для случая плоской системы сил, когда r=[x y], F = [X Y], W = F*s23(r) - бивектор силы F

Бивектор единичной силы e , заданной строкой e = [ex ey], при r = [x y] function s = s13(e)

s = e * s23(r);

9

1.2.Конкатенация матриц и линейных функций

Вертикальная конкатенация (сцепление) двух матричных выражений, содержащих один и тот же столбцевой множитель {X}, вида A1{X} и A2{X}, где A1, A2 — прямоугольные матрицы с одинаковым числом столбцов, приводит к сцепленному по вертикали выражению A{X}, где матрица A = [A1; A2]

— результат вертикальной конкатенации матриц A1 и A2.

Горизонтальная конкатенация двух выражений XB1 и XB2, где X есть n-строка, B1 и B2 — прямоугольные матрицы с n-строками, n1 и n2-столбцами, приводит к объединенному выражению XB, где B = [B1, B2] — nx(n1+n2)- матрица, результат горизонтальной конкатенации матриц.

Любую сумму произведений вида ax +by +cz + ku можно представить как произведение вектора-строки (матрицы-строки) [a,b,c,k] образованной из первых сомножителей и вектора-столбца [x, y, z,u] ' вторых сомножителей

или наоборот, — строки вторых сомножителей, умноженной на столбец первых сомножителей. Например, возьмем три суммы произведений и каждую из них представим в виде произведения строки на столбец:

a2 x +b2 y +c2 z + k2u =[x, y, z,u][a2 ,b2 ,c2 ,k2 ]'

a3 x +b3 y + c3 z + k3u =[x, y, z,u][a3 ,b3 ,c3 ,k3 ]'

Три линейных алгебраических выражения объединяем по горизонтали в одно матричное строчное выражение VA, где V=[ x y z u], A=[a1 a2 a3 ; b1 b2 b3 ; c1 c2 c3 ; k1 k2 k3]. Либо сцепляем вертикально в столбцевое выражение A΄{V}

при {V}=V΄.

Сумма произведений строчных матриц и согласованных с ними по умножению прямоугольных матриц объединяется в произведение удлиненной вектор строки и блочной матрицы, полученной в результате вертикальной конкатенации прямоугольных матриц. Например 1x3 – вектор-строка вида:

где вторые матричные сомножители имеют размеры (3x3), (2x3), (1x3).

1.3.Перепроецирование векторов и тензоров второго ранга

Пусть имеется две декартовы системы координат: Oxnynzn и Oxsyszs, первую назовем — n-системой или исходной системой, вторую — повернутой системой или — s-системой, с отсчетом углов от исходной системы. Расмотрим в них один и тот же вектор r , он определяется строками проекций, которые обозначим соответственно rn=[xn yn zn] и rs=[xs ys zs].

Верна матричная формула перепроецирования вектора r из n-системы в s-систему, связывающая его проекции на оси s-системы, n-системы:

10