QНП = −(sgn ω)2rm1g sinϕ

Здесь сухое трение считаем постоянным, пренебрегая влиянием динамического давления на ползун со стороны кривошипа.

Замечание. В случае сухого трения (а также "четного" по модулю, но "нечетного" по направлению квадратичного трения) необходимо рассматривать и неположительные состояния объекта, как показано на этом примере.

По формуле Лагранжа (6.1) составим динамическое уравнение механизма:

Jϕ&& + 12 ∂∂ϕJ ϕ&2 + ∂∂Πϕ −Qнп = 0 ,

К динамическому уравнению присоединяем начальные условия, начальный фазовый ветор [ω(0) = ω0,φ(0) = φ0].

Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вместе с начальным состоянием составляет математическую модель механического обьекта. Она исследуется на ПК численными методами при численных значениях параметров механизма и численных начальных значениях фазовых переменных.

Применим теперь к движению механизма теорему о кинетической

энергии в виде

T +П – (T0 +П0) – Aнп = 0.

Работа Aнп силы трения находится путем интегрирования знакопеременной функции Qнп

Aнп = ∫Qнпϕ&dt = −2 frG1 ∫|sinϕ | dϕ

Далее, полная энергия E = T + П определяется по вышеприведенным формулам, начальная энергия — путем подстановки в E начальных данных [ω0,φ0]. Уравнение энергии определяет угловую скорость ω как функцию φ, либо наоборот, определяет функцию φ(ω). Уравнение Лагранжа вместе с начальными условиями определяет одновременно две функции φ(t) и ω(t), из которых можно определить зависимость ω =ω(φ) и построить ее в виде так называемой фазовой траектории на фазовой плоскости [ω,φ].

6.9. Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Изменение кинетического момента любой механической системы, взятого относительно неподвижного центра, равно главному моменту внешних сил

Аналогичная формулировка верна также для одного подвижного центра - центра масс системы. Данная теорема была применена в разделе динамики твердого тела. Отметим, что кинетический момент системы твердых тел равен векторной сумме кинетических моментов тел.

110

Замечание. В векторное дифференциальное уравнение (6.42) входят внешние силы и не входят внутренние силы. Тем не менее внутренние силы существенно влияют на движение механической системы. Они изменяют конфигурацию и создают взаимное движение звеньев механической системы, создают динамические давления на связи, что приводит к изменению реакций внешних связей - внешних сил, а последние определяют движение центра масс системы и ее вращательное движение согласно теореме моментов. Например, угловое раскачивание качелей путем своевременных приседаний человека достигается за счет внутренних сил, вызывающих изменение конфигурации системы качели-человек, приводящих к перемещению в системе внешней силы тяжести, изменению её эффективности. Второй пример: центр масс автомобиля получает ускорение, создаваемое силами сцепления колес с дорогой, в свою очередь силы сцепления, внешние трение, порождается внутренними силами двигателя, напряжениями в предаточном механизме.

111