W (0) =[q&(0)A(0), q(0)] =[[v0 ,ω0 ]A(ϕ0 ), y0 ,ϕ0 ]

6.5. Теорема о движении центра масс механической системы

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой мысленно сосредоточим массу механической системы и в которую условно перенесем и приложим все внешние силы, действующие в различных точках системы, сохраняя при этом прежние функциональные зависимости этих сил от координат, скоростей и времени. Иными словами движение

Внутренние силы не входят непосредственно в уравнение (6.34), но они оказывают опосредованное влияние, поскольку изменяют конфигурацию механической системы, вызывают взаимные движения частей системы, что приводит к изменению внешних сил, входящих в уравнение. Например, внутренние силы, создаваемые мотором автомобиля, не входят в уравнение (6.34), но они порождают силы трения — сцепления колес с дорогой, которые входят в это уравнение и создают ускоренное движение центра масс автомобиля.

Эта теорема была подробно рассмотрена применительно к абсолютно твердому телу. Она верна и для многозвенных механизмов, для них центр масс механизма находится через радиус векторы центров масс звеньев по формуле

rc = m1 ∑mi ri ,

где m - масса механизма, mi и ri - массы и радиус-векторы центров масс звеньев.

6.6. Теорема об изменении количества движения механической системы

Изменение количества движения (импульса) механической системы равно главному вектору внешних сил, приложенных к системе

Динамическое векторное уравнение (6.35) эквивалентно уравнению (6.34) и отличается только обозначениями. Векторное уравнение (6.35) можно предпочесть уравнению (6.34) в динамике механизмов, поскольку исключается процесс определения центра масс механизма.

6.7. Теорема импульсов

Приращение импульса механической системы за конечный интервал времени равно сумме импульсов приложенных к ней внешних сил:

Здесь импульсом силы Fi e называется вектор, равный определенному инте-

гралу от силы по интервалу времени. Импульсы сил можно вычислять через составляющие, через импульсы проекций силы:

Sie = i ∫t Xiedt + j ∫t Yiedt + k ∫t Ziedt

Уравнение (6.36) — результат однократного интегрирования по времени дифференциального векторного уравнения (6.35). Оно является разновидностью уравнения (6.34) и (6.35). В форме (6.36) оно применяется в таких задачах, в которых можно вычислить импульсы сил, например, в случаях когда силы постоянны или зависят только от времени. Иногда векторное уравнение (6.36) применяют для определения импульса силы по замеренным количеством движения. Оно применяется , например, при изучении столкновений транспортных средств, для оценки ударных сил.

6.8. Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим произвольную механическую систему с любым числом степеней свободы. Имеет место следующая теорема, представляемая одним скалярным функциональным уравнением, связывающим между собой фазовые координаты.

Теорема. Движение механической система в ИСО на любом интервале времени [t1, t2] удовлетворяет следующему уравнению:

T2 – T1 = A12, (6.37)

где T1 и T2 — значения кинетической энергии системы в краевые моменты времени, A12 — работа на интервале [t1 t2] всех приложенных к системе сил, внешних и внутренних. Идеальные реакции связей по определению не имеют мощности, не совершают работы, поэтому они не присутствуют в уравнении (6.37), из неидеальных реакций обычно выделяют и отбрасывают идеальные составляющие.

Согласно уравнению (6.37) приращение кинетической энергии механической системы за любой конечный интервал времени равно работе прило-

106

женных сил за этот интервал времени, совершаемых на конечном перемещении системы, на переходе из одного фазового состояния в другое.

Варианты записи уравнения (6.37):

т.е. приращение кинетической энергии за произвольный интервал времени [t0, t] равно сумме работ всех приложенных сил за этот интервал времени

т.е. приращение за конечный интервал времени механической энергии системы, образованной из кинетической энергии системы и потенциальной энергии всех приложенных потенциальных сил, равно работе всех непотен-

т.е. производная по времени от кинетической энергии любой механической системы в любой момент времени равна мощности всех приложенных к системе сил.

Теорема энергии в кинетостатической форме: A + Aин = 0 при Aин = T0 – T ,

т.е. сумма работ всех приложенных к механической системе сил и работ сил инерции равна нулю на любом промежутке времени.

Cлучай консервативной механической системы. Пусть на систему действуют только потенциальные силы (а также — идеальные реакции), т.е. система движется в потенциальном (консервативном) силовом поле. Тогда урав-

В этом случае имеем закон сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной системы остается постоянной, равной начальной энергии системы, накопленной к начальному моменту t = t0 при некоторых других условиях.

В природе и технике закон сохранения механической энергии точно не выполняется, поскольку всегда имеется диссипация энергии, тепловое, звуковое, световое и др. излучения энергии из механической системы, либо - поглощение или пополнение энергии. Можно лишь искусственно поддерживать энергию постоянной, компенсируя потери энергии.

Кинетическая энергия есть функция скоростей, а работа сил обычно находится как функция перемещений, координат . В связи с этим данная теорема широко применяется, например, для непосредственного вычисления обобщенной скорости q& одностепенного механизма в любом его положении, определяемом обобщенной координатой q, при условии постоянного по величине и направлению трения или при отсутствия трения. В тех случаях, когда работу сил невозможно вычислить, теорему обычно не применяют. Иногда применяют теорему к случаю, когда требуется найти неизвестную работу силы по известной разности кинетических энергий (T2 – T1).

107

Пример 1. Определить зависимость угловой скорости от угла поворота ротора электродвигателя, имеющего вертикальную ось вращения Oz. Известнен начальный фазовый вектор ротора [ω0 > 0,φ0 = 0] в момент t0 = 0. Известны также осевой момент инерции ротора J, вращающий постоянный момент

пары сил M1 ↑↑ Oz , постоянный момент нагрузки M 2 ↓↑ Oz , и постоянный момент трения M 3 ↓↑ Oz , ось Oz направлена вдоль оси ротора, положитель-

ное направление угла поворота определяется с положительной стороны оси

Oz.

Решение. Примем ротор двигателя за одностепенную механическую систему с фазовым вектором [ω =ϕ&,ϕ]. Применим к нему теорему энергии в форме: T – T0 =A. Имеем: T = Jω2/2, T0 = Jω02/2. Мощности пар сил равны скалярным произведениям векторных моментов пар и угловых скоростей тел, к которым приложены пары сил. Работы пар сил легко вычисляем ввиду постоянного значения моментов пар, считая при этом t0 = 0, ϕ(0) = 0, ϕ(t) =ϕ :

Подставив в уравнение энергии данные выражения, получим функциональ-

ное уравнение для фазовых переменных

J(ω2 – ω02)/2 = (M1 – M2 – M3)φ.

Отсюда находим искомые выражения угловой скорости:

ω = ω02 + kϕ при k = 2(M1 − M 2 − M 3 ) / J .

Пример 2. Лыжник весом Q спустился с горы высотой h, наклона 60°, по прямолинейной лыжне без начальной скорости. Коэффициент трения скольжения f. Определить скорость, приобретенную лыжником.

Решение. Направим ось Ox вдоль склона горы. Воспользуемся уравне-

нием T + П – (T0 +П0) = Aнп.

В данном примере T = mv2/2, T0 = 0, П0 = Qh, П = 0. Давление лыжника на поверхность горы N = Q/2, величена силы трения F = fN = fQ/2. Работа си-

лы трения на спуске Aнп = – Fx = – 2fQh / 3 . Подставляя эти выражения в уравнение (6.39), получим mv2/2 – Qh = – 2fQh / 3 . Отсюда

v = 2gh(1−2 f / 3) .

Пример 3. Составить динамическое уравнение подпружиненного кри- вошипно-ползунного механизма методом Лагранжа и методом теоремы об изменении кинетической энергии (рис.19). Массой шатуна пренебречь, а его длину считать существенно большей, по сравнению с длиной кривошипа, и соответственно текущий угол α наклона кривошипа считать малым. Заданы: масса, радиус инерции, длина кривошипа: m, ρ, 2r, длина шатуна b>>r, масса ползуна m1, жесткость пружины c. Пружину считать недеформированной в горизонтальном положении звеньев механизма. Учесть коэффициент сухого трения f ползуна.

108

ном "положительном" состоянии V>0 механизма состояние каждого звена и приложенные силы: G, G1 , упругую силу F , силу трения F1 . (Не показаны

идеальная составляющая реакции опоры ползуна и идеальные реакции шарниров O, A, B, поскольку они не входят в динамическое уравнение)

Выразим все кинематические параметры через фазовые координаты. Имеем соотношения AK = 2r sinφ = b sin α ≈ b α, отсюда α = n sinφ при n=2r/b,

α& ≈ nϕ&cosϕ ω1 = nω cosφ.

Здесь α и ω1 считаются положительными при отсчете по часовой стрелке.

Далее, OB = OK + KB = 2r cosφ + b cos α ≈ 2r cosφ + b, vx = OB• = −2rωsin ϕ, vy = 0 => v2 / ω2 = 4r2 sin2φ.

Найдем КЭ механизма:

T = Tкривош. +Tползуна = (mρ2ω2 + 4m1v2)/2 = (mρ2+4m1r2sin2φ)ω2/2.

Отсюда приведенный момент инерции механизма J(φ)

J =2T/ω2 = mρ2+4m1r2sin2φ, ∂J/∂φ = 4m1r2sin2φ.

Найдем потенциальную энергию механизма и мощность непотенциальной силы трения. Потенциальная энергия П равна работе всех потенциальных сил на условном обратном перемещении механизма из "положительного" положения φ > 0 в "нулевое" положение (φ = 0) (или взятая со знаком минус работа сил на движении O –> φ). Формула для потенциальной энергии остается верной и для "неположительных" положений.

В этом примере сила G перемещается по дуге окружности из положения C на нулевой уровень, опускаясь на величину h=rsinφ, а пружина сжимается до нерастянутого состояния на величину ≈ 2r(1–cosφ) = 4rsin2(φ/2). Потенциальная энергия двух сил и частная производная от нее:

П = Gh + c 2/2 = G r sinφ + 8cr2sin4(φ/2), ∂П/∂φ = Grcosφ + 16cr2sin3(φ/2)cos(φ/2).

Найдем мощность непотенциальной силы сухого трения и ее обобщенную силу Qнп:

P(F1 ) = F1 v = F1xvx = ± fG1 (−2rωG1 sinϕ) = (m2 frG1 sinϕ)ω .

Отсюда Qнп = m 2frG sinφ,

где знак "–" ставится при ϕ& > 0 , "+" - при ϕ& < 0 , т.е.

109