счета (ПСО). При этом в центре масс каждого абсолютно твердого звена механизма следует наряду с силой тяжести Gi = mi g условно приложить переносную силу инерции Sie = −miaO , где mi — масса звена, aO — ускорение на-
чала координат поступательной системы, после чего можно “забыть” о движении ПСО, принять ПСО за инерциальную, неподвижную систему.
Тем самым задача динамики механизма, прибора в ПСО подменяется эквивалентной задачей динамики в ИСО, но с дополнительными массовыми силами, пропорциональными ускорению полюса с обратным знаком −a0 ,
иными словами, все силы тяжести mi g заменяются силами mi g0 , где g0 = g − a0 .
6.2.Уравнения равновесия стационарной системы в обобщенных координатах
Состояние равновесия системы подчинено уравнениям Лагранжа (6.10) или (6.7) где следует положить тождественно T ≡ 0 . Получаем систему алгебраических уравнений равновесия механической системы в обобщенных координатах для определения ее координат q = q0 при значении q& ≡ 0.
|
∂Π |
−QΗΠ |
|
(6.12) |
|
∂q |
|
= zeros(1,n) |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
q≡0 |
Обобщенные силы QΗΠ можно находить методом мощности, либо мето-
дом возможной работы. В жестко закрепленных системах можно применять прием поочередного освобождения системы от той или иной связи, поочередного придания системы той или иной степени свободы с введением обобщенной координаты qj и возможной обобщенной скорости q&j или возмож-
ного перемещения δq и составления соответствующего уравнения. Заметим, что силы, равные нулю при q& = 0, можно не включать в обобщен-
ные силы при формировании уравнений (6.12). Но силы сухого трения, очевидно, следует учитывать.
Пусть к механической системе приложены только система потенциальных сил с потенциальной энергией П(q) и реакции идеальных связей, а также диссипативные линейные и квадратичные силы, равные нулю в состоянии покоя. В этом случае уравнения равновесия в обобщенных координатах (6.12) упрощаются:
∂Π |
= zeros(1,n) |
∂Π = 0 при j = |
|
(6.13) |
1,n |
||||
∂q |
|
∂qj |
|
|
Таким образом в положении равновесия потенциальная энергия системы приложенных потенциальных сил имеет экстримальное значение (минимум – в случае асимптоически устойчивого положения равновесия)
98
6.3. Матричная форма уравнений Лагранжа
Итак, кинематической характеристикой состояния n-степенной системы в момент времени t является фазовый вектор с 2n фазовыми координатами , т.е. с n обобщенными скоростями и n обобщенными координатами:
V =[u,q] при q =[q1 |
,..., qn ], u =[u1 |
,...,un ], q =[q1 |
,..., qn ] |
(6.14) |
|
|
& & |
& |
|
Динамической характеристикой стационарной системы служит ее кинетическая энергия, представляемая матричной однородной квадратичной формой.
|
1 |
′ |
|
′ |
|
T |
(6.15) |
T (u,q) = |
2 uAu |
|
при A = A(q),u |
|
≡u |
|
|
и вектор-строка обобщенных сил Q =[Q1,...,Qn ].
Систему приложенных сил принято разделять на три системы: потенциальные силы, характеризуемые общей потенциальной энергией П(q), идеальные реакции, не принимаемые во внимание при составлении уравнений Лагранжа и прочие (непотенциальные) силы, характеризуемые вектор-строкой обобщенных непотенциальных сил Q% =[Q%1,...,Q%n ], вычисляемые методом мощности непотенциальных сил общего вида на виртуальных скоростях. Имеем
|
∂П |
% |
∂П |
|
∂П |
|
∂П |
% % |
(6.16) |
|
Q = − |
∂q |
+Q при |
∂q |
= |
∂q1 |
,..., |
|
|
, Q = Q(u,q,t) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂qn |
|
|
||||
В этом случае движение стационарной голономной системы подчинено системе n дифференциальных уравнений порядка 2n, записанных в строку одно вслед за другим в виде матричного уравнения Лагранжа
|
|
|
|
|
|
|
∂П |
% |
|
|
|
(6.17) |
||
|
|
|
|
LT = − |
∂q |
+Q , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
d ∂ |
|
∂ |
|
|
|||
где L =[L1 |
,..., Ln ]= |
d |
|
− |
,..., |
− |
|
- вектор-строка линейных |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂q1 |
dt ∂un |
|
|||||||||
|
dt ∂u1 |
|
|
|
∂qn |
|
||||||||
операторов Лагранжа.
Вычислим вектор-строку LT, принимая во внимание структуру (6.15) функции T. Получим
99