Q(x) x=0 = 0 −cf + 23 mg = 0 f = 2c3 mg

Подставляя выражение статической деформации f в обобщенную силу получаем окончательно: Q = −cx . Динамическое уравнение колебаний имеет вид:

Пример 2. Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что наклонная поверхность вибрирует в вертикальном направлении с ускорением aO = Acos pt j1 , где орт j1 направлен вертикально.

Решение. В этом случае следует приложить в центре масс каждого звена переносную силу инерции Sek = −mk aO (наряду с силой Gk = mk g ), после этого систему отсчета Oxy можно условно считать неподвижной (инерциальной). Приложив в центре масс системы корпус-колеса силу GO = m(g −aO )

имеющее дополнительное гармоническое слагаемое.

5.10. Уравнение Лагранжа для голономной нестационарной одностепенной системы

Геометрическая связь в механической системе называется нестационарной, если она записывается в виде функционального уравнения, содержащего параметр t , т.е. если она изменяется с течением времени. Примеры нестационарных связей: математический маятник на нити переменной длины l=5t , прибор на платформе, совершающей заданное во времени программное движение, механизм с заданными кинематическими уравнениями движения одних звеньев относительно других. Голономная система называется одностепенной нестационарной, , если она подчинена хотя бы одной нестационарной связи наряду со стационарными связями, но при этом сохраняет одну степень свободы. Положение одностепенной механической системы определяется одной выбираемой обобщенной координатой q в каждое конкретное мгновение t .

В стационарной голономной системе радиус-вектор ri любой i-ой точки

системы можно найти на основании геометрического изображения объекта (желательно изображать положение q > 0) , как функцию обобщенной коор-

динаты ri = ri (q) . Скорость точки определяется функцией vi = ∂ri ∂q q& .

88

Для нестационарных систем приходим к более сложным выражениям

Составляющую vi скорости vi , вычисляемую при фиксированных значениях

параметра t в нестационарной связи, получаемую за счет изменения только обобщенной координаты q , назовем виртуальной скоростью.

Из выражений (5.47) следует, что кинетическая энергия системы имеет трехчленную структуру и является квадратным полиномом относительно обобщенной скорости с переменными или постоянными коэффициентами, которые обозначим символами ak :

Мощность системы приложенных к механической системе сил будем вычислять на виртуальных скоростях точек приложения сил, т.е. при условии, что в нестационарных связях параметр t закреплен в своем положительном значении. При этом не будем принимать во внимание не имеющие мощности идеальные реакции нестационарных и стационарных связей при закрепленном параметре t в связях. Имеем выражение виртуальной мощности системы сил:

Здесь силы Fi и моменты пар M j в общем случае могут зависеть от реальных скоростей vi и угловых скоростей ωj , а также - от координат и от времени.

Выразив в выражении (5.49) виртуальные скорости vi* , ω*j , а также действительные скорости и координаты через фазовые переменные q& и q , полу-

чим мощность P* (q&, q,t) ,в которой обязательно имеется общий множитель q&.

Обобщенной силой нестационарной голономной одностепенной меха-

нической системы называется отношение виртуальной мощности системы сил (мощности системы сил на виртуальных скоростях) к обобщенной скорости:

В общем случае Q есть функция трех параметров: Q =Q(q&, q,t). В (5.50) силы зависят от действительных (не виртуальных) скоростей.

Уравнение Лагранжа для нестационарной (и стационарной) одностепенной системы имеет вид:

Электродвигатель массой m1 , установлен на пружинах общей жесткости с2 , с массой пружины m2 . Радиусы инерции каждого из четырех направляющих колес i3 , радиусы колес r3 . На оси О двигателя установлен неуравновешанный маховик массой m4 с расстоянием до центра масс r4 , радиус инер-

ции маховика относительно оси О равен i4 , маховик равномерно вращается согласно кинематическому уравнению φ= ω4 t , при ω4=2. Задан момент вязкого трения на осях каждого из четырех колес M3= b3 ω3 . Составить динамическое уравнение устройства.

Решение

Уравнением ϕ= ω4t =2t задана нестационарная связь. Пружины не соз-

дают связей, они лишь создают силы и имеют инерционность, которую со-

гласно методу Рэлея учтем, прибавив к массе m1 двигателя третью часть массы пружин m2 [12]. Имеем нестационарную механическую систему с одной

степенью свободы, в которой за обобщенную координату примем направлен-

ное вверх смещение от положения оси О, соответствующего недеформиро-

ванному состоянию пружины.

вычисление виртуальной мощности системы всех приложенных сил на вир91

туальных скоростях точек приложения сил. При этом в выражениях сил зависящих от скоростей не следует заменять действительные скорости на виртуальные. Не принимаем во внимание крутящий момент электродвигателя вме-

сте с моментом трения в подшипнике O , осуществляющих нестационарную

связь – программное движение кривошипа, поскольку их мощность на виртуальном движении при фиксированном t (т.е. при ϕ = const ) равна нулю.

Окончательно имеем линейное неоднородное ОДУ второго порядка с

постоянно действующими периодическими возмущениями следующей структуры:

при обозначениях

n =b /(2r3a2 ), k = c2 / a2 , h0 = (G1 +G2 / 2 +G4 ) / a2 , h = h4ω4 / a2

Общее решение уравнения (5.61) состоит из частного периодического решения, имеющего гармоническую и постоянную составляющие, и общего решения однородного уравнения с двумя константами С и β :

y(0) = y0 , y&(0) = v0 y посредством подстановки их в общее решение (5.62) и в

производную от него.

Согласно уравнению (5.62) система совершает двухчастотные колеба-

ния около положения y = −h / k2 с собственной циклической частотой k1 и

вынужденной частотой p . При этом амплитуда собственных колебаний

уменьшактся по показательному закону e−nt с коэффициентом затухания n , обусловленным вязким трением. В результате любое движение системы

92

асимптотически приближается к одночастотному колебанию, не зависящему от начальных условий, подчиненному уравнению:

Иными словами, система совершает гармонические колебания согласно формуле (5.64), асимптотически устойчивые относительно начальных возмущений в том смысле, что любой переходный процесс, начинающийся с состояния y(0) = y0 , y&(0) = v0 , асимптотически переходит в периодические колеба-

ния относительно статического положения y = yСТ с постоянной амплитудой

H , с частотой, равной частоте возмущающей силы и с фазой, смещенной на величину α от фазы кинематического возмущения.

Примечание В случае нестационарной одностепенной механической системы уравнение Лагранжа и уравнение энергии T& = P приводят к различ-

ным дифференциальным уравнениям. В данном примере из уравнения T& = P

получается дифференциальное уравнение, содержащее мощность крутящего момента. Такое уравнение можно использовать для вычисления крутящего момента, обеспечивающего выполнение нестационарной связи, но прежде следует применить уравнение Лагранжа и получить решение (5.64).

93