В случае нестационарной голономной системы реакция связи называется идеальной, если равна нулю её мощность при зафиксированном значении параметра t в связи.

5.9.Уравнение Лагранжа для одностепенной стационарной голономной системы

Рассмотрим голономную стационарную механическую систему, имеющую одну степень свободы, совершающую движение в инерциальной или поступательной системе отсчета. Движение механических устройств с твердыми звеньями в поступательной системе отсчета, движущейся с ускорением a0 эквивалентно их движению в ИСО, но при условии замены ускорения си-

лы тяжести g на измененное ускорение g0 = g −a0 , что эквивалентно присвоению силе тяжести каждого звена Gi значения Gi0 = Gi + Si при Si = −mi a0

Допустим, что мы выбрали обобщенную координату q и фазовый вектор [q&, q] . Пусть по формулам (5.1)-(5.6) определена кинетическая энергия меха-

низма в ИСО (либо в ПСО) как сумма кинетических энергий всех звеньев. Выразим все кинематические переменные через параметры q&, q , затем выне-

Цель перечисленных выше действий — получение выражения для коэффициента инерции a(q), называемого также приведенной массой mпр системы, если в качестве q принята декартова координата и приведенным моментом инерции Jпр механизма, если q есть угол. Приведенный коэффициент инерции может получиться постоянным или зависящим от обобщенной координаты. Обратный коэффициент инерции вычисляется по формуле b(q) = (a(q))−1 = q&2 / 2T

Далее допустим, что мы показали на рисунке “положительную фазу” го-

дых тел-звеньев (идеальные реакции можно не показывать). Затем пусть в мощности приложенных сил P = ΣFi vi + ΣM j ωj , выразили все кинемати-

где обобщенная сила Q в общем случае есть функция фазовых координат и времени. Таким образом, обобщенная сила численно равна “удельной мощ-

83

ности” системы сил, т.е. - мощности системы приложенных сил, отнесенной к обобщенной скорости. Обобщенная сила может получиться постоянной величиной, либо — функцией координаты q или фазового вектора [q&, q] , либо

— функцией “расширенного” фазового вектора [q&, q,t]. Последний, наиболее общий, вариант реализуется в случаях, когда имеются силы, явно зависящие от времени.

Теорема Лагранжа 1. Движение одностепенной голономной стационарной механической системы в ИСО (или ПСО с дополнительными силами) подчинено дифференциальному уравнению второго порядка, которое составляется по формуле:

Таким образом, полная производная по времени от так называемого обобщенного импульса ∂T / ∂q&, за вычетом частной производной вида ∂T / ∂q , равна обобщенной силе Q .

Замечание 1. Действующие силы можно подразделять на потенциальные и непотенциальные и применять уравнение Лагранжа в форме

совокупность математических действий над функцией T. Функцию S = -LT можно назвать обобщенной силой инерции системы. В таком случае можно сказать, что при движении механической системы, обобщенная сила системы приложенных сил уравновешивается обобщенной силой системы инерционных сил , Q + S = 0.

Замечание 2. Уравнению Лагранжа для стационарных голономных одно-

т.е. полная производная по времени от кинетической энергии одностепенной стационарной системы, отнесенная к обобщенной скорости равна обобщенной силе.

В результате выполнения математиеских действий в уравнении (5.37) или (5.39) получаем следующий более конкретный вид динамического уравнения.

Теорема 2. Математической моделью движения одностепенной голономной стационарной системы служит дифференциальное уравнение второго порядка

84

темы. Отметим, что наиболее предпочтительным при практическом применении является уравнение (5.41), но целесообразно знать и классические формы уравнения Лагранжа (5.37), (5.38).

Кроме уравнения (5.40) или (5.41), в математическую модель включают начальные условия, начальное состояние механической системы, задаваемое отдельно в виде двух конкретных начальных значений фазовых переменных:

Вместо начальных условий иногда присоединяют граничные условия вида q(t1) = q1, q(t2 ) = q2 , своеобразным граничным условием может являться

условие периодичности движения.

Теорема 3. Движение одностепенной голономной стационарной механи-

Уравнение (5.43) имеет простой смысл: обобщенное ускорение системы во все моменты времени пропорционально обобщенной силе с коэффициентом пропорциональности равным обратному коэффициенту инерции системы.

В случае потенциальных сил обобщенное ускорение системы пропорционально производной от потенциальной энергии по обобщенной координате:

Теорема 4. О равновесии голономной одностепенной системы. Необходимым условием равновесия одностепенной механической системы является равенство нулю обобщенной силы механической системы:

Q(q&, q) q&=0 = 0 (5.45)

Итак, должна равняться нулю обобщенная сила Q механизма, в которой сле-

дует приравнять нулю обобщенную скорость, например, не учитывать диссипативные силы, обращающиеся в ноль при q& = 0. В случае консервативной механической системы, когда все приложенные активные силы потенциальны, а связи - идеальны, необходимым условием равновесия является выполнение функционального уравнения, получаемого из условия

85

т.е. - равенство нулю производной от потенциальной энергии по обобщенной координате. Из функционального (линейного или нелинейного) уравнения (5.46) можно найти положение статического равновесия системы в виде q = qСТ = const . В задачах статики закрепленного тела можно поочередно ос-

вободить тело от той или иной связи, придавая ему степень свободы, вводя одну обобщенную координату и вычислять одну реакцию отброшенной связи через уравнение вида (5.46)

Пример 1.

x x

Рис. 17 Свободные колебания одностепенной системы.

Тележка на четырех колесах удерживается пружиной жесткости c на наклонной плоскости с наклоном 30° (рис. 17). Масса корпуса тележки m1, масса каждого колеса m2, радиус инерции колеса относительно его оси равен ρ. В начальное мгновение тележка занимала такое положение, при котором пружина растянута на величину l , и имела начальную скоростью v0, направленную по склону. Определить дальнейшее движение тележки. Трением пренебречь.

Решение. Механизм состоит из пяти подвижных звеньев: корпуса, четырех колес и невесомой пружины. В качестве обобщенной координаты возьмем растяжение пружины x, от нерастянутого положения конца пружины.

G = mg, F = −cxi - сила тяжести механизма и упругая сила. Реакция N опо-

ры на действия колес, показаная пунктиром, включает нормальную реакцию и силу сцепления колес с дорогой. В дальнейшем она не будет принимаеться во внимание, поскольку не имеет мощности (точка приложения силы N не имеет скорости).

Необходимо выразить все кинематические параметры через вектор состояния [x&, x] . В данном случае выразим угловую скорость и угол поворота

каждого колеса: ω = x&/ r , φ = x/r. Двойная кинетическая энергия механизма определяется по формулам поступательного движения корпуса и плоского движения четырех колес:

86

2T = 2Tкорп +8Tколес = m1x&2 +4(m2 x&2 + m2 ρ2 x&2 / r2 ) = mпрx&2 = x&2 / b,

при mпр = m1 + 4m2 (1 + ρ2/r2), b = 1/ mпр .

Таким образом найдена приведенная масса механизма mпр и обратная приведенная масса b, они получились постоянными. Перейдем к определению мощности упругой силы F = −cxi и общей силы тяжести G = −mgj при m = m1 +4m2. Получаем

P = F v +G v = Fx vx + Gx vx = (−cx + mg 3 / 2)x&

где m = m1 +4m2. Отсюда находим обобщенную силу устройства

Q = P / x& = −cx + mg 32

Поскольку в данной задаче приведенная масса mпр механизма постоянна, то применяем теорему Лагранжа 3, в виде уравнения (5.43) при обозначении x=q. Получаем:

Постоянное частное решение дифференциального уравнения xч = h / k2 определяет положение равновесия системы. Общее решение имеет вид

x = xч +C1 cos kt + C2 sin kt.

Подставив начальные значения в общее решение и в выражение производной от него, находим

b = xч + C1 , v0 = C2k.

Отсюда C1 = b - x2 , C2 = v0 / k Окончательный вид решения:

x = (b - h / k2 ) cos kt + (v0 / k ) sin kt + h / k2

Таким образом, система совершает гармонические колебания с периодом τ = 2π/k вокруг положения статического равновесия xч = h/k2.

Замечание Мы отсчитывали координату x от нерастянутого положения пружины. Если отсчитывать координату от положения статического равновесия, то динамическое уравнение получается без постоянного слагаемого xч .

Действительно, в таком случае текущая деформация пружины состоит из деформации f в положении равновесия и координаты x. Упругая сила

имеет вид F = −c( f + x)i .

Мы взяли начало координат x = 0 в положении равновесия, т.е. в положении, в котором обобщенная сила равна нулю. Приравнивая нулю обобщенную силу Q и подставляя x=0, находим величину статической деформации пружины:

87