A0s = F s = Fs cos(α) = FS s ,

где Fs — проекция силы на направление перемещения. Работа A0s положи-

тельна, если сила наклонена к перемещению, т.е. если проекция F на s положительна. В случае F s работа равна нулю. В случае Fs < 0 работа отрицательна, т.е. на преодоление действия этой силы затрачивается кинетическая энергия или работа других сил. Потенциальная энергия постоянной силы F равна взятой со знаком минус работе силы на перемещении из нулевого положения в произвольной положение:

П(s) = –A0s = –Fss.

Потенциальным полем силы F служат линия, прведенная вдоль перемещения.

5.5. Обобщенная сила одностепенной голономной стационарной системы

Пусть выбрана обобщенная координата q механической системы (на-

пример, декартова координата какой-либо точки механизма или угол поворота ведущего звена механизма). Тем самым определен фазовый вектор [q&,q],

характерезующий состояние голономной системы. Пусть к механической системе приложена система внешних и внутренних сил Fi (i =1,k) , а также приложены несколько пар сил с моментами M k +1 ,..., M n . Общая мощность в

ИСО этих воздействий в момент времени t вычисляется как алгебраическая сумма скалярных произведений:

Здесь vi — скорости точек приложения сил, ωj — угловые скорости звеньев, к которым приложены пары сил. После выражения скоростей точек прило-

где через Q обозначен коэффициент при обобщенной скорости q&, называе-

мый обобщенной силой.

Определение 1. Обобщенной силой одностепенной стационарной голономной системы (механизма, устройства) называют коэффициент в мощности (5.22) при обобщенной скорости или отношение мощности всех прило-

Обобщенную силу измеряют в ньютонах в случае, если q — линейная координата или - в Нм, если q является угловой координатой.

Обобщенную силу системы потенциальных сил QПOT , для которой найдена общая потенциальная энергия Π(q) , можно вычислить методом мощно-

79

сти по общей формуле (5.23), либо методом дифференцирования потенциальной энергии по формуле:

Определение 2. Обобщенной силой голономной стационарной одностепенной системы называется коэффициент в виртуальной работе, выделенный в виде множителя при вариации обобщенной координаты:

Здесь δq - бесконечно малое приращение обобщенной координаты, которое мы искусственно сообщаем координате q , вследствие чего точка приложения каждой силы Fi получает виртуальное (бесконечно малое возможное) перемещение, а сила Fi совершает работу Fi δri . При решении задач о равнове-

сии механической системы формула (5.26) может представлять предпочтительной, поскольку допускает определение обобщенной силы на виртуальных перемещениях сил, вводимых вместо скоростей точек приложения сил.

5.6. Обобщенная сила нестационарной одностепенной системы

Рассмотрим нестационарную голономную систему с одной степенью свободы. В ней предполагается наличие хотя бы одной нестационарной, явно зависящей от времени, связи, поэтому радиус-векторы точек системы могут зависеть не только от обобщенной координаты, но и времени: r = r (q,t) . Скорость любой точки системы состоит из двух слагаемых векторов:

Она вычисляется в предположении, что начиная с момента времени t, параметр t в связях фиксируется и считается постоянным, в результате все связи становятся стационарными.

Виртуальной угловой скоростью ω тела (звена механизма) называется его угловая скорость, вычисленная в предположении, что все нестационарные связи с момента t считаются стационарными в результате фиксации в

80

них параметра t . Виртуальным перемещением δr точки называют бесконечно малое перемещение при закрепленных с момента t связях, вычисляе-

мое по формуле δr = ∂∂rq δq , где δq -виртуальное бесконечно малое прира-

щение обобщенной координаты, называемое вариацией координаты q.

Определение. Обобщенной силой нестационарной одностепенной голо-

номной механической системы называется мощность системы приложенных сил на виртуальных скоростях их точек приложения, отнесенная к обобщенной скорости:

или – отношение виртуальной работы системы сил на виртуальном перемещении системы к вариации обобщенной координаты:

В формулах (5.28), (5.29) силы могут зависеть от координат, времени и действительных (не виртуальных) скоростей.

5.7. Работа обобщенной силы одностепенной стационарной системы

Пусть выбран фазовый вектор-строка [q&, q] одностепенной механической системы со стационарными связями, т.е. выбрана обобщенная координата к которой присоедена соответствующая обобщенная скорость q& . За обобщенную координату обычно принимают угол φ поворота ведущего звена, либо одну из декартовых координат какой либо подвижной точки звена, обозначаемую x или y. Пусть найдено выражение мощности системы сил, приложенных к механизму как функция фазового вектора и времени P(q&, q,t) в результате сложения мощностей всех внешних и внутренних сил:

где [q]- размерность обобщенной координаты.

Работа сил механизма на интервале времени [t1,t2] равна определенному интегралу от мощности по времени:

В случае, если обобщенная сила Q зависит только от обобщенной координаты q , получаем расчетную формулу:

В случае постоянной обобщенной силы работа равна произведению обобщенной силы на приращение обобщенной координаты:

81

Расчетные формулы (5.33),(5.34) целесообразно применять в задачах динамики механизмов, движущихся под действием сил тяжести, постоянного трения и упругих сил. В общем случае следует применять общую формулу

(5.32)

5.8. Идеальные связи и реакции связей

Пусть голономная стационарная механическая система движется под действием приложенных сил. Приложенные силы могут быть внутренними и внешними, потенциальными и непотенциальными. К приложенным силам относим силовые нагрузки и возникающие реакции связей.

Голономной (геометрической) связью, наложенной на механическую систему, называется геометрическое ограничение на положение и конфигурацию системы и как следствие — ограничение на скорости и ускорения точек системы. Каждая связь создает реакцию связи, которая обеспечивает выполнение связи, геометрического ограничения. Например, если механическое устройство создает давление на некоторую опору, направленное на ее преодоление, то опора создает реакцию — противодействие, обеспечивающее сохранение связи, не допускающее разрушения опоры. Если же такого давления нет, то нет и реакций связи.

Определение. Связь в стационарной голономной системе называется идеальной, а её реакция N — идеальной реакцией, если во все моменты времени равна нулю мощность реакции связи PN = N v = 0, где v — скорость

точки приложения реакции связи.

Таким образом, по определению идеальная реакция не имеет мощности, не совершает работы.

Примеры идеальных связей:

1)Идеально гладкая неподвижная опорная поверхность, реакция которой направлена по нормали к скорости скольжения тела.

2)Цилиндрический и сферический шарниры с пренебрежимо малым трением.

3)При качении колеса без проскальзывания имеется сила трения, обеспечивающая сцепление с дорогой. Она направлена под углом к нормали и приложена к мгновенному центру скоростей колеса, не имеющему скорости, поэтому ее мощность равна нулю.

Реакцию неидеальной связи целесообразно разлагать на идеальную составляющую, не имеющую мощности и остаточную составляющую, которую относим к приложенным силам, имеющим мощность.

Целесообразно выделять идеальные реакции из прочих приложенных к объекту сил, поскольку они не входят в уравнения Лагранжа и теорему об изменении кинетической энергии. Идеальные реакции можно не показывать на рисунке, предварительно проверив выполнение условия их “идеальности”

вида: PN = 0 .

82