5.ДИНАМИКА ГОЛОНОМНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

5.1.Фазовый вектор системы (вектор состояния системы)

Под механической системой (МС) будем в основном подразумевать абсолютно твердое тело, или систему нескольких твердых тел, например – звеньев механизма. Приближенно упругие деформируемые тела также могут рассматриваться как конечномерные механические системы, подменяемые конечномерной системой по методу конечных элементов. В теории любая механическая система изображается в виде конечного или бесконечного множества материальных точек.

Механическая система называется голономной, если на ее положение, конфигурацию, наложены только геометрические ограничения - голономные связи.

Реакции голономных связей обеспечивают выполнение связей, они создают противодействие давлению механической системы на связи и возникают в той мере, в какой имеется давление. В технике роль голономных связей выполняют так называемые кинематические пары: шарниры, направляющие, подвесы, опоры, соединения, кроме того, в любом абсолютно твердом теле имеется бесчисленное множество голономных связей типа: расстояния между любыми точками тела постоянны, и обычно имеются конструктивные геометрические связи тела с другими телами и опорами.

Голономные связи разделяют на стационарные и нестационарные. Если связь изменяется с течением времени по заданному функциональному закону, содержащему явно параметр t, то она называется нестационарной, но если t не входит в функциональное уравнение, то связь называется стационарной. Пример нестационарной связи – опора, вибрирующая по известному функциональному гармоническому закону вида y = Acost . Не являются свя-

зями пружины, соединяющие звенья механизма между собой или с опорами. Пружины являются лишь источниками силы, но они не создают геометрических ограничений на положение объектов. В некоторых задачах пружины принимают за деформируемое звено, учитывают приближенно “приведенную” массу пружины по методу Релея, считая их массивными деформируемыми звеньями механизма, обладающими приведенной массой и обобщенной силой.

Голономной стационарной системой называется механическая система, подчиненная только стационарным связям. Если же имеется хотя бы одна нестационарная связь, то система называется голономной нестационарной.

Здесь мы в основном рассматриваем стационарные системы, связи в которых можно записывать в форме функциональных уравнений вида: конкретная функция некоторых координат равна нулю, например, квадрат рас-

Посредством дифференцирования по времени уравнений связи получаем функциональные уравнения, устанавливающие взаимозависимости между скоростями точек. Таким образом, голономные связи налагают ограничения не только на конфигурацию, но и на скорости элементов системы. Повторное дифференцирование уравнений связи определяет ограничения на ускорения элементов системы. Голономная система как правило состоит из бесконечного множества точек с бесчисленным множеством связей. Тем не менее системы могут сохранять подвижность, возможность двигаться, т.е. у них остаются степени свободы.

Обобщенной координатой механической системы обычно называют лю-

бую выбранную декартову координату какой-либо точки системы или - угловую координату какого-либо звена системы. Обобщенных координат может быть несколько, они отсчитываются как от неподвижных, так и подвижных тел. Декартовы координаты измеряются в метрах, угловые координаты в радианах. В теории обобщенные координаты принято обозначать символами q1, q2 ,..., qn .

Замечание В аналитической механике изучают также неголономные системы, в которых имеются неголономные связи, налагающие ограничения на скорости точек системы, но не приводящие к ограничениям на положение механической ситемы. Примером такой системы – является катящийся по столу биллиардный шар. Условие отсутствия скольжения не налагают ограничений на угловое положение шара на столе. Неголономные связи представляются в виде дополнительных дифференциальных уравнений, присоединяемых к системе динамических уравнений. Своеобразными неголономными связями можно считать системы управления механическими объектами, представленные дифференциальными уравнениями управления, которые присоединяются к уравнениям динамики и замыкают систему ОДУ. Здесь неголономные системы мы не рассматриваем.

Механическая голономная система называется одностепенной (имеющей одну степень свободы), если её положение полностью фиксируется одной выбираемой обобщенной координатой. На практике в качестве обобщенной координаты q принимают какую-либо направленную угловую координату ведущего или ведомого звена q= φ , или - декартову координату q=x или q=y какой-либо точки устройства. Например, вращающийся маховик является одностепенной системой с обобщенной координатой q=φ. Обобщённой ско-

ростью одностепенной механической системы называют скаляр u = q& , равный производной по времени от обобщенной координаты. Она измеряется в

рад/c = c−1 или в другом случае - в м/с. Обобщенная скорость характерезует быстроту движения всего устройства.

Вектор-строка V =[q&, q] =[u, q] обобщенной скорости и обобщенной ко-

ординаты одностепенной механической системы называется фазовым вектором или вектором состояния механической системы, а элементы q&, q фазо-

70

вого вектора называются фазовыми координатами. Нередко фазовый вектор записывают в форме вектор-столбца V ′=[u, q]T .

Замечание Обобщенное ускорение q&& не включают в вектор состояния,

поскольку оно может быть выражено через вектор состояния из динамического уравнения, рассматриваемого ниже, если известны нагрузки.

Если конфигурацию системы можно зафиксировать двумя обобщенными координатами q1,q2 , то механическая система называется двухстепенной,

подробнее — системой с двумя степенями свободы. Фазовый вектор-строка

Фазовый вектор-строка V голономной механической системы с n степенями свободы содержит 2n фазовых координат V =[u1, ...,un ,q1,...,qn ] ≡[u,q] .

Элементы строки V могут иметь различные размерности: часть - в м и м/c,

часть - в рад и рад/c = c−1 . При этом часть координат отсчитываем непосредственно от осей ИСО (или ПСО), часть можно отсчитывать от подвижных звеньев, но требуется выполнение условия: количество координат должно быть минимальным, при этом их совокупность должна вполне определять положение механической системы в системе отсчета.

Примеры Вращение тела вокруг оси характерезуют двумерным фазовым вектором тела V =[ϕ&,ϕ] =[ω,ϕ], сферическое движение тела вокруг точки – шестимерным. В руке человека и в манипуляционном роботе можно увидеть более десяти степеней свободы. При изучении деформаций тел по методу конечных элементов твердое деформируемое тело условно разделяют на конечное множество соедененных в узлах частей и назначают сотни фазовых координат получаемой конечностепенной системы, заменяющей сплошное тело.

Замечание Нестационарную голономную систему с одной степенью свободы можно рассматривать как стационарную голономную систему с двумя степенями свободы, если в уравнениях связей принять параметр t (или ка- кую-либо функцию от t) за дополнительную обобщенную координату, временно переобозначив t на q2, затем составить два динамических уравнения, в которых затем вернуться к обозначению q2=t. Получаемое при этом второе, дополнительное, уравнение можно отбросить или использовать для определения реакции нестационарной связи.

5.2.Кинетическая энергия твердого тела и голономной стационарной одностепенной системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Произвольная точка с номером i имеет некоторую массу mi и скорость vi , модуль которой есть vi.

71

общем случае мгновенная ось меняет свое положение в теле, поэтому Jω есть переменная величина. Формула верна и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz , тогда Jω=Jz=const.

КЭ произвольного движения тела состоит из энергии поступательного движения вместе с центром масс и энергии вращения тела вокруг центра масс, наблюдаемого в поступательной системе отсчета, движущейся вместе с

Здесь vС — модуль скорости центра масс тела, ω — угловая скорость тела, JCz, iCz — момент инерции и радиус инерции тела относительно оси Cz, проведенной через центр масс вдоль вектора ω. Но если за полюс принять не центр масс, а произвольный полюс O, то в выражении двойной КЭ следует добавлять третье слагаемое, содержащее удвоенное скалярное произведение скорости полюса vO и скорости vCO вращения центра масс вокруг полюса:

Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий его звеньев T = ∑Ti .

КЭ одностепенной стационарной голономной системы, в частности -

одностепенного механизма с голономными стационарными связями, всегда

в которой выделен в виде множителя квадрат обобщенной скорости, а другой множитель a (или делитель b) является функцией координат q: Эта форма достигается приведением подобных членов и вынесением за скобки квадрата обобщенной скорости. Коэффициент a(q) , называется в теории приведенным

(обобщенным) коэффициентом инерции механизма, b(q) можно назвать обратным коэффициентом инерции.

Коэффициент инерции a = 2T / q&2 во многих задачах получается постоянным. Он называется также приведенной массой механизма mпр в случае, когда за обобщенную координату механизма принята какая-либо декартова ко-

ордината и называется приведенным моментом инерции механизма Jпр в слу-

чае, если за обобщенную координату принят угол поворота ведущего (или ведомого) звена механизма.

Пусть найдена приведенная масса механизма в виде функции некоторой обобщенной координаты mпр( y) = m . Выполним переход к угловой коорди-

нате ϕ по заданной формуле y = f (ϕ) . Имеем:

Отсюда J = m(∂f ∂ϕ)2 , т.е. угловой коэффициент инерции системы пропорционален линейному коэффициенту инерции с коэффициентом пропорцио-

73