Бивектор известной силы с указанным её направлением можно также вычислять по формуле (4.19), либо по формуле W=[cross(r,F),F]

Бивектор пары сил с моментом M = [Mx My Mz] определяется строкой

Wp = [Mx My Mz 0 0 0]

В случае момента M =| M | e = n M e направление которого представлено ор- том-строкой e =[exey ez ] , имеем бивектор Wp=nM [e 0 0 0]= nM [ exeyez 0 0 0]

Замечание 2. Пусть формула (4.18) применяется к реакции связи F , о которой заранее известно, что одна из её проекций равна нулю. Тогда из векторастроки целесообразно удалить эту проекцию с одновременным удалением соответствующей строки в матрице s36(r).

Например, пусть F=[0 Y Z]. Тогда в (4.18) формально принимаем F = [Y Z], а к функции s=s36(r) применяем операцию удаления первой строки вида

s = s(1,:) = [ ], при это получаемую функцию можно обозначить sx26(r).

Аналогично, для силы F=[X 0 Z] имеем: F=[X Y], s = s(2,:) = [ ] => sy26(r),

наконец для F=[X Y 0] имеем F=[X Y ], s = s(3,:) = [ ] , получаем М-функцию sz26(r). (см. (1.12)-(1.17))

4.6. Матричное уравнение равновесия пространственной системы сил

Равновесие твердого тела есть частный случай движения, когда тождественно равны нулю все скорости, угловые скорости, ускорения и угловые ускорения тела. В связи с этим уравнения равновесия можно получить из общих уравнений произвольного движения тела.

Механизм, любую механическую систему, в состоянии покоя можно рассматривать как единое твердое тело. Система уравнений равновесия такого тела является необходимым и достаточным условием равновесия тела, при условии, что в начальное мгновение оно находилось в состоянии покоя. К этой системе можно добавлять уравнения равновесия отдельных частей, звеньев, механической системы, для того чтобы составить замкнутую систему уравнений равновесия. В предмете “Сопротивление материалов” рассматривают также равновесие любых частей сплошного тела, принявшего устойчиваю конфигурацию после деформации под действием приложенной нагрузки, или пренебрегая вначале этими деформациями.

Рассмотрим твердое тело, которое находится в состоянии покоя в ИСО Oxyz. Система двух векторных уравнений движения тела принимает вид век-

торных уравнений равновесия MO = 0, R = 0 , означающих, что равны нулю

главный момент и главный вектор всех приложенных к телу внешних сил. Два данных векторных уравнения представляют собой необходимые условия равновесия тела. Систему приложенные сил здесь разделим на две системы:

Fi (i =1, k) — система неизвестных сил (реакций опор) и Q j ( j = k +1, n) —

система известных сил. Два векторных уравнения равновесия запишем следующим образом

62

[xi, yi, zi]. Во второе матричное уравнение системы (4.21) мы искусственно ввели множитель E3 - единичную диагональную матрицу третьего порядка:

E3 = diag [1 1 1] = eye(3).

Слагаемые в первом уравнении (4.21) представляют собой векторыстроки [Mix Miy Miz], образованные из осевых моментов сил. Сцепим горизонтально два матричных уравнения (4.21). Получим одно объединенное матричное уравнение равновесия

Вектор-строки шестого порядка W(Fi) назовем бивекторами сил Fi от-

носительно начала координат O. Они составлены из трех моментов силы относительно осей Ox, Oy, Oz и трех проекций силы на эти оси, т.е.

W(Fi) = [Mix Miy Miz Xi, Yi, Zi] (4.23)

Бивектор пары сил, заданной своим моментом M , содержит три нулевые проекции:

Прочитаем уравнение (4.22) в форме теоремы.

Теорема о равновесии. Если тело находится в равновесии, то система всех неизвестных внешних реакций и известных внешних сил, приложенных к нему, удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению вида (4.22), эквивалентному системе шести алгебраических уравнений, т.е. сумма бивекторов всех приложенных неизвестных и известных сил равна шестиэлементной нулевой вектор-строке.

Уравнение (4.22) в системе MATLAB с применением M-функции s36(r) вида (1.10), а также (1.12)-(1.18) записывается следующим образом:

63

где k — число неизвестных сил, Fi = [Xi Yi Zi] – вектор-строки неизвестных сил, ri = [xi yi zi] – вектор-строки точек приложения сил,

(n – k) — число известных сил, Qj = [Qjx Qjy Qjz] — строки известных сил, s36(ri) - М-функция координат имеет вид:

s36(r) =[r%, E3 ] =[0 z −y ;−z 0 x ; y −x 0],eye(3)]

Иными словами, если тело находится в состоянии покоя, то система всех приложенных к нему внешних реакций связей и нагрузок удовлетворяет системе шести линейных алгебраических уравнений, представленных матричным уравнением (4.25). Уравнение (4.25) методом горизонтальной конкатинации неизвестных первых сомножителей и вертикальной конкатинации вторых сомножителей приводится к структуре неоднородного линейного алгебраического уравнения:

det L ≠ 0, тогда существует единственное решение, которое в MATLAB возвращается функцией правого деления

Частный случай. Допустим, что тело находится в равновесии под действием плоской системы сил, расположенной в плоскости Oxy . В таком случае вместо изложенного выше способа для плоской системы сил можно также применять общее уравнение равновесия, если вводить трехэлементные векторы

Fi = [Xi Yi 0], ri = [xi yi 0], Mi = [0 0 Miz], где Miz - скалярные моменты сил. Кроме того, в начале координат следует условно приложить неизвестную ре-

акцию Z0, соноправленную с осью Oz и приложить пару сил с неизвестным моментом M0 = [MX MY 0], эти величины должны получаться равными нулю. Решение находится по формулам (4.25)-(4.27). Задача решается и без дополнительного приложения Z0 , M0 , если вектор-строку V находить через функцию левого деления, по формуле V=-(L’\U’)’ .

Замечание. Необходимое условие равновесия (4.25) является и достаточным для абсолютно твердого тела, если тело неподвижно в начальное мгновение, при этом равновесие либо устойчивое, либо неустойчивое, в зависимости от некоторых дополнительных условий.

4.7. Бивекторы реакций опор

Рассмотрим бивекторы основных типов реакций связей, заранее неизвестных, подлежащих определению методом составления и решения уравнений равновесия.

Неизвестная сила F с известным радиус-вектором точки приложения

Вспециальных случаях формула (4.29) упрощается.

1.Случай, когда одна из проекций силы равна нулю:

3. Пара сил с моментом M5 = nM5e , неизвестным или известным модулем nM5, сонаправленным с известным ортом e5 = [e5x e5y e5z]. Бивектор па-

В случае известной силы Q можно применять выражение бивектора

(4.29), либо - (4.33), либо - формулу: W(Q)=[cross(r,Q),Q] при r=[x y z], Q=[ Qx Qy Qz]

4.8. Пример конкатенации матриц в матричном уравнении равновесия

Допустим, что тело находится в равновесии под действием системы неизвестных сил вида (4.29), (4.30), неизвестной пары сил (4.34), известной силы тяжести Q6 = [Q6x Q6y Q6z], приложенной в точке с вектор-строкой

r6 = [x6 y6 z6] и пары сил с известным моментом M7 = [M7x M7y M7z]. Бивектор системы известных сил и пар сил обозначим U. В данном случае по форму-

лам (4.29) и (4.35) находим

Тем самым мы выполнили в уравнении равновесия (4.25) горизонтальную конкатенацию неизвестных, сцепив их в вектор-строку (4.37), а также выполнили вертикальную конкатенацию вторых сомножителей-координатных матриц. В результате получаем уравнение статического равновесия (4.26) при

65