Момент силы можно вычислить посредством разложения её на составляющие (Рис.14). Сумма моментов составляющих силы равна моменту равнодействующей:

Момент силы относительно начала координат можно находить аналитическим способом через проекции силы и координаты точки её приложения,

Формулу (4.4) можно представить в виде произведения вектор-строки проекций силы и вектор-столбца составленного из координат:

Здесь первый сомножитель называется вектором-строкой силы и обозначается F=[ X, Y] , второй сомножитель – вектор-столбец координат. Момент силы относительно начала координат (или какой-либо иной точки) характеризует способность силы вращать тело вокруг этой точки в ту или иную сторону, в зависимости от знака момента. Момент пары сил характеризует способность пары сил раскручивать тело вокруг любой точки тела.

4.3 Бивектор плоской системы сил

Эффективность силы в системе MATLAB можно характеризовать совокупностью момента силы и двух проекций силы, выстроенных в вектор-строку:

Вместо вектор-строки можно рассматривать вектор-столбец W T , получаемый транспонированием вектор-строки. Бивектор силы вида (4.6) можно представить в виде произведения вектора-строки F и прямоугольной матрицы координат размера (2x3),обозначаемой здесь символом s23(r).А именно

Здесь равны нулю две компоненты, поскольку равны нулю сумма проекций сил на оси х,y.

4.4. Уравнения равновесия плоской системы сил

Пусть к твердому телу в плоскости 0xy приложена плоская система сил, включающая систему неизвестных реакции опор [F1,F2,F3,…,Fk], и известные

57

силы (и пары сил) [Fk+1,…,Fn]. Для обозначения сил можно применять и другие прописные латинские буквы с индексами и без индексов. Целесообразно всем силам, начиная с реакций опор, присвоить порядковый номер, тем самым присваивается номер радиус-вектору точки приложения силы ri. Нумерацию распространяем и на приложенные пары сил с неизвестными и известными моментами пар. Имеет место следующая теорема о равновесии плоской системы сил, представляющая собой частный случай уравнений движения твердого тела для пространственной системы сил.

Теорема. Если тело находится в состоянии равновесия ( не движется ), то система всех приложенных к нему внешних сил удовлетворяет трем алгебраическим уравнениям равновесия, а именно, равны нулю сумма моментов всех приложенных сил и суммы проекций сил на две оси координат :

∑M0i=0, ∑Xi=0, ∑Yi=0,

Иными словами, необходимым условием равновесия тела является равенство нуль – строке суммы бивекторов всех приложенных сил (реакций опор и известных внешних сил)

Матричное уравнение (4.12) эквивалентно системе трех линейных неоднородных алгебраическоих уравнений относительно проекций сил. Посредством горизонтальной конкатенации (сцепления) первых сомножителей и вертикальной конкатенацией вторых сомножителей в (4.12) получаем матричное уравнение равновесия

Здесь V – вектор-строка неизвестных реакций, U – трехэлементная строка бивектора известных сил, L – координатная матрица реакций. Решение системы (4.13) в MATLAB определяется функцией правого деления V = – U/ L в случае, если L – квадратная неособая матрица.

Условие (4.12) является необходимым и достаточным условием равновесия тела (устойчивого или неустойчивого), если в начальный момент времени тело находилось в состоянии покоя.

Замечание При решении задач неизвестные составляющие реакций всегда можно условно направлять в сторону направления осей, а неизвестный момент пары сил условно показывать против часовой стрелки. Тогда в результате решения будут найдены не модули, а проекции составляющих сил на оси, а неизвестный скалярный момент пары сил определится с правильным знаком.

Пример. Консольная балка длины 2b (м) весом G (Н) закреплена в вертикальной стене, нагружена известной силой Q (Н) и парой сил с моментом M5=-M (Нм) (рис.15). Получить уравнения равновесия балки.

58

Рис.15 Плоская система сил и пар сил.

Решение геометрическим способом. Реакция стены состоит из пары реактивных сил с неизвестным моментом M2 , двух неизвестных сил X1,Y1 , которые формально сонаправим с осями координат. Придадим силам и парам сил порядковые номера G=G3 , Q=Q4. Из точки 0 опустим перпендикуляры на силы G3 и Q4 , получаем плечи h3=b и h4 ,к которым присоединим знаки по правилу кажущегося вращения силы вокруг точки 0.

Составляем уравнение моментов сил и два уравнения проекций сил, начиная с неизвестных сил. Перечислим неизвестные и известные силы и пары:

V = [X1 Y1 M2] – вектор строка неизвестных,

U = [ G3 Q4 M5 ] – вектор-строка известных величин Находим

X1 0 + Y1 0 + M2 1 + ( -G3 h3 + Q4 h4 – M5 ) = 0, h3 = b, h4 = 3b/2√2 X1 1 + Y1 0 + M2 0 + ( 0 - Q4 ⁄ √2 + 0 ) = 0

X1 0 + Y1 1 + M2 0 + ( -G3+ Q4 ⁄ √2 + 0 ) = 0

где формально добавлены нулевые слагаемые вида M20 с нулевым размерным множителем 0 (1/м). Силы X1, Y1 имеют нулевое плечо.

Полученная система трех линейных неоднородных алгебраических уравнений распадается на рекуррентную цепочку уравнений и легко решается, начиная с первого уравнения. Но можно выполнить решение на компьютере, записав систему в матричной форме:

V*L + U = [0 0 0] => V = - U L¯¹ <=> V = - U/L

В матрице L коэффициенты каждого уравнения равновесия поставлены в столбцы, в строке U расположены свободные члены уравнений.

│0 1 0│

L= │0 0 1│, U = [-G3 r3 + Q4 h4 – M5 , - Q4 ⁄ √2 , -G3+ Q4 ⁄ √2 ]

│1 0 0│

Решение в системе MATLAB бивекторным способом на компьютере: Введем M-функцию координат

function s=s23(r) s=[-r(2) 1 0;r(1) 0 1]

и M-функцию для пары сил function s = sp13(M) s = M * [1 0 0];

Объявим все символьные вещественные величины

59

syms b G Q M X1 Y1 M real

Представим перенумерованные силы и радиус-векторы точек их приложения через объявленные величины.

r1 = [ 0 0 ]

r3 = [ b 0 ]

r4 = [ 3*b/2 0] F1=[X1 Y1] V=[X1 Y1 M2] G3=[0 -G]

Q4=[-Q/2^(1/2), Q/2^(1/2)] M5=-M

W5=M*[-1 0 0]

Вычислим бивектор системы известных сил:

U = [G3*s23(r3)+Q4*s23(r4)-M,G3+Q4]

Выделим бивектор системы реакций связей:

W=F1*s23(r1)+M2*[1 0 0]=[F1,M2]*[s23(r1);[1 0 0]] W=V*L,

где применена горизонтальная конкатенация первых сомножителей и вертикальная конкатинация вторых сомножителей. Матрица координат реакции опор формируется вертикальной конкатенацией:

L=[s23(r1);[1 0 0]]

Решение матричного уравнения V*L+U=[0 0 0] функцией правого деления:

V=-U/L

V =[ 1/2*Q*2^(1/2), G-1/2*Q*2^(1/2), G*h3-Q*h4+M]

4.5 Бивектор и M-функции пространственной системы сил

Допустим, что к твердому телу, расположенному в системе отсчета Oxyz, приложено несколько сил, включая и пары сил. Каждая сила F харак-

терезуется радиус-вектором r точки её приложения и вектором силы F .

В целом мера эфективности силы характеризуется шестью скалярами, обьединенными в две матрицы-строки: строкой координат точки приложения

Вместо вектора r возьмем вектор-строку M момента силы M , взятого относительно начала координат, M = r ×F . В системе MATLAB векторстроку M возвращает функция cross(r,F) в символьном или численном-

Вектор-строку M представим в форме произведения вектор-строки F и квадратной кососимметричной матрицы координат третьего порядка:

60

Такое представление предпочтительно для неизвестных реакций.

В среде MATLAB легко создать файл-функцию, вычисляющую матрицу r%: function s=s33(r)

s=[cross(r,[1 0 0]); cross(r,[0 1 0]); cross(r,[0 0 1])]

или в иной записи

s=[0 r(3) –r(2); -r(3) 0 r(1); r(2) –r(1) 0]

Момент изображается в виде свободного вектора, проводимого обычно из центра O, перпендикулярного сомножителем r , F , направленного по правилу буравчика (правого винта), и равного произведению модуля силы и плеча | M |=| F | h , или в других обозначениях nM = nF*h

Бивектором силы называется шестиэлементная вектор-строка, полученная горизонтальной конкатенацией (сцеплением) строк M= [Mx My Mz] и

F= [X Y Z]

W = [ M, F ] = [ Mx My Mz X Y Z ] = [cross(r,F),F] (4.17)

Геометрическим образом бивектора силы можно считать пару свободных векторов М0 и F . Другим образом бивектора может служить скользя-

щий вектор F , изображенный на линии действия силы F , показанной в системе Oxyz.

Бивектор можно представить в виде вектор-строки F, умноженной на прямоугольную матрицу координат размера 3x6, обозначенную символом s36(r):

Матрицу s36(r) можно создать в форме М-функции следующим образом: function s=s36(r)

s=[s33(r), eye(3)]

либо

s=[0 r(3) –r(2) 1 0 0; -r(3) 0 r(1) 0 1 0; r(2) –r(1) 0 0 0 1]

Замечание 1. Абсолютную величину (норму) силы F , norm(F) обозначаем символом nF в тех случаях, когда символ F занят под обозначение векторстроки F=[X Y Z]. Аналогичное обозначение применим для момента силы: | M |≡ nM .

Бивектор силы F =| F | e = nF e , заданный по направлению ортом-строкой e =[exey ez ] , но неизвестной по модулю, представляем в виде:

61