Решение. Измеряемый момент пары сил M связан со скоростью полюса L относительно центра масс O уравновешанного гироскопа равенством v = M / Cω1 v ↑↑ M и ω2 ×k = M / Cω1, ω2 k .

Отсюда получаем ответ: ω2 = M / Cω1 . Пара сил давления прибора на подшипники есть (−F, −F′)

Пример 4. Велосипедист движется прямолинейно с большой скоростью, не держась за руль. Затем он наклоняет раму в левую сторону. Объяснить дальнейшее движение велосипеда.

Решение. Велосипед имеет два быстро вращающихся колеса, обладающих свойствами гироскопа. Оси гироскопов устойчиво сохраняют неизменное направление в инерциальном пространстве, поэтому неуправляемый велосипед с велосипедистом не падает. Угловая скорость ω1 переднего колеса направлена вдоль

его оси в левую сторону, следовательно, и полюс колеса расположен слева его оси от центра колеса. Если велосипедист накреняет раму в левую сторону, то к оси переднего колеса будет приложена пара сил, момент которой, очевидно, направлен на велосипедиста. Скорость полюса направлена в сторону момента пары сил. Отсюда следует, что колесо вместе с рулем поворачивается против часовой стрелки, если смотреть сверху. В результате велосипед подъезжает под смещенный влево центр тяжести системы и устойчиво движется в новом направлении после ликвидации крена без воздействия на руль.

3.12. Динамика произвольного движения твердого тела

Произвольное движение тела условно разделяем на движение центра масс и сферическое движение вокруг центра масс,для которых составляем динамические уравнения, объединяемые в единую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

3.12.1 Уравнения сферического движения тела вокруг центра масс

Пусть тело произвольно движется в пространстве по отношению к инерциальной системе координат O ΄x΄y΄z΄. Оно перемещается вместе со своим центром масс C и сферически вращается вокруг центра масс с некоторой угловой скоростью ω и угловым ускорением ε (либо - вращается вокруг неизменно направленной, поступательно движущейся оси). Свободные векторы ω и ε можно провести из точки С (или из любого другого полюса). В общем случае векторы ω и ε не параллельны и изменяются во времени по величине и направлению. В случае плоского движения тела векторы ω и ε параллельны и направлены перпендикулярно плоскости в одну или противоположные стороны, при этом с конца вектора ω вращение кажется происходящим в положительном направлении. В случае вращения тела вокруг неподвижной оси векторы ω и ε сонаправлены либо противонаправлены.

51

Возьмем поступательную систему координат Cx1y1z1 с началом в центре масс C и осями, параллельными осям инерциальной системы O ΄x΄y΄z΄. А также введем систему Cxyz, скрепленную с телом.

В системе Cx1y1z1 тело вместе с системой Cxyz совершает сферическое движение вокруг центра масс, подчиненное общей теореме об изменении кинетического момента относительно центра масс:

K&C = MC

Здесь MC - главный момент внешних сил, кинетический момент KC и произ-

водная по времени K&C вычисляется наблюдателем в поступательной системе Cx1y1z1 , считающим эту систему неподвижной, а систему Cxyz – сферически вращающейся. Переходя к относительной производной KC′ вычисляемой

другим наблюдателем в системе Cxyz , считающим Cxyz неподвижной, получаем векторное динамическое уравнение движения тела вокруг центра масс:

Оно аналогично уравнению (3.40) теоремы об изменении кинетического момента относительно центра неподвижного в ИСО. Из векторного уравнения (3.50) следует, что сферическое движение описывается матричным динамическим уравнением Эйлера, аналогичным уравнению (3.41):

К этому динамическому уравнению присоединяем кинематическое уравнение записанное в поступательной системе отсчета по аналогии с уравнением Эйлера (3.29):

L =[sθsϕ, sθcϕ,cθ;cϕ, −sϕ,0;0,0,1]−1

Два матричных уравнения (3.51),(3.52) образуют систему дифференциальных уравнений шестого порядка относительно шестиэлементного фазового век- тора-строки V =[ω,u], обьединяемую в одно матричное уравнение:

Присоединим к данному матричному динамическому уравнению шестого порядка начальный фазовый вектор, который должен быть задан в условиях задачи в виде

(3.54)

Имеем математическую модель сферического движения тела вокруг своего центр масс в виде начальной задачи Коши (3.53)-(3.54), определяющую сфе-

52

рическое движение тела вокруг центра масс. Она решается в MATLAB с применением функции ode23() или ode45() , если вектор-функция M зависит только от фазовых координат вектора V и от времени. В общем случае произвольного движения тела к (3.53)-(3.54) присоединяют динамические уравнения движения центра масс тела, описанные далее.

3.12.2. Уравнения движения центра масс тела

Динамические уравнения движения центра масс устанавливаются на основании теоремы, напоминающей второй закон динамики.

Теорема о движении центра масс тела. Ускорение aC центра масс C твердого тела в неподвижной системе координат O′x′y′z′ равно удельному (отнесено-

му к массе тела) главному вектору внешних сил, приложенных к телу, т.е. движение твердого тела в ИСО подчинено следующему векторному динамическому уравнению:

Можно ввести более краткие обозначения rC′ → r, vC′ → v, aC′ → a.

Векторное дифференциальное уравнение (3.55) эквивалентно системе трех скалярных ОДУ шестого порядка, написанных в следующей матричной форме в неподвижной системе отсчета

К уравнениям (3.56) присоединяем начальные условия — начальное кинематическое состояние центра масс тела в ИСО:

В результате получаем начальную задачу для центра масс тела вида (3.56)- (3.57). В форме Коши она записывается следующим образом:

главного вектора внешних сил и проекций скоростей центра масс на неподвижную систему координат.

Объединим, выполним горизонтальную конкатенацию двух фазовых векторов, а также объединим силовые векторы

53

Таким образом математической моделью произвольного движения тела является система двенадцати обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши (3.59) общего двенадцатого порядка с начальными условиями

(3.53), (3.58) или система с условиями (3.54), (3.57).

Отметим, что при решении так называемой первой задачи динамики – определение неизвестных сил по заданному движению тела, начальные условия не требуются. Они необходимы только при решении второй задачи динамики – определение кинематических уравнений движения тела в условиях известных действующих сил посредством интегрирования динамических уравнений при начальных условиях. В случае управлямого движения тела система обыкновенных дифференциальных уравнений является не замкнутой, она является системой исполнительного устройства и замыкается путем присоединения к ней дифференциальных уравнений управления исполнительным устройством электромеханической и другой природы.

Замечание. Начальную задачу Коши (3.58) можно решать отдельно только в случае, если главный вектор внешних сил не зависит от углового положения тела, от угловых фазовых координат. Точно так же, система уравнений сферического движения решается отдельно, если моменты сил не зависят от движения центра масс тела (или в случае, если движение центра масс задано). В общем случае (3.59) представляет собой систему 12 взаимосвязанных уравнений, решаемых совместно.

54