Здесь матрица J1 не постоянная, она зависит от углов поворота тела, поскольку положение неподвижных осей изменяется в теле в процессе его вращения. В связи с этим предпочтительнее применение выражения (3.32), записанного в системе Oxyz, в которой матрица JO постоянна, поскольку оси x, y, z не меняют в теле своего положения.

Имеем формулы перепроектирования векторов KO и ω из системы Oxyz в

Ox1y1z1 и обратно:

K1=K0C10 , ω1=ωС10 при K1 = ω1J1 = ω C10 J1 , K0 = ωJ0

Подставляя третье и четвертое из этих выражений в первое получим равенство, верное при любых значениях вектор-строки ω:

ω C10 J1 = ω J0 C10

Отсюда получаем матричную формулу (3.21) перепроектирования тензора инерции из нулевой системы Oxyz на первую Ox1y1z1, приведенную ранее без вывода.

J1=C10′ JOC10 .

По данной формуле можно находить элементы матрицы. Система MATLAB и другие системы автоматически раскрывают произведение трех матриц и возвращают выражения элементов матрицы J1 через элементы матрицы JO, символьные или численные значения осевых и центробежных моментов инерции в системе Ox1y1z1 .

3.10. Динамические уравнения Эйлера

Получим систему трех дифференциальных уравнений сферического движения тела в матричной форме. Допустим, что твердое тело, изображенное в виде системы координат Oxyz (рис. 8) имеет одну закрепленную точку O. Вокруг закрепленной точки O тело вращается в неподвижной системе с произвольной угловой скоростью ω под действием некоторой системы внешних сил { F i (i =1, n) }, включая реакцию шарнира O и пары сил тре-

ния в шарнире

z MO KO

w

y

O o

x

Рис. 8 Сферическое движение тела (системы Oxyz) в ИСО

44

Матрицу поворота нулевой системы Oxyz, от первой системы Ox1y1z1, обозначим C01 (см. (3.24)), матрицу обратного поворота первой от нулевой обозначим C’01 или C10. Закрепление точки O в технике осуществляют посредством сферического шарнира или карданова подвеса, а также применяется подвес тела в электростатическом управляемом поле.

Точка O назвается центром сферического движения тела, поскольку траектории всех точек тела располагаются на концентрических сферах вокруг нее. Сферическое движение удовлетворяет следующей теореме об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра.

Теорема. Сферическое движение тела, (в том числе - вращение тела вокруг неподвижной оси), удовлетворяет векторному динамическому уравнению

i=1

Аименно, производная по времени от кинетического момента, взятого отно-

сительно центра вращения O, равна главному моменту внешних сил относительно этого центра.

Здесь кинетический момент (3.31) и главный момент внешних сил определяются в инерциальной системе отсчета Ox1y1z1 , они могут быть разложены на составляющие по осям этой системы, либо по осям сцепленной с телом системы Oxyz, производная по времени вычисляется наблюдателем в инерциальной системе отсчета.

Уравнение (3.37) эквивалентно матричному столбцевому дифференциальному уравнению {K&1} ={M1}или строчному матричному уравнению

K&1 = M1 , которое раскрываются в форме трех скалярных дифференциальных уравнений, выписанных в строку:

Таким образом, производная от строки проекций кинетического момента на неподвижные оси x1, y1, z1 равна строке проекций главного момента внешних приложенных сил. Внутренние усилия, возникающие между частями тела, не входят в векторное уравнение (3.37) и в матричное уравнение (3.38).

В выражение K1 входят переменные осевые и центробежные моменты инерции вращающегося тела относительно неподвижных осей, которые согласно уравнению (3.38) приходится дифференцировать, вычислять производные от этих величин. Перепроецируем матричное уравнение (3.38) из системы Ox1y1z1 в систему Oxyz, что достигается почленным умножением справа уравнения на матрицу поворота C01. Получаем уравнение

K& 1C01 = M1C01 .

Правая часть этого уравнения равна матрице-строке M0 , составленой из проекций вектора M O на Oxyz: M0=[Mx My Mz]= M1C01

45

В левую часть уравнения подставим равенство K 1= KOC10 = KOC01′ , опреде-

ляющее проецирование вектора кинетического момента из системы Ox1y1z1

на Oxyz,

Матричное (строчное) дифференциальное уравнение (3.39) раскрывается в виде системы трех дифференциальных уравнений, записанных в матрицустроку, одно за другим Оно эквивалентно векторному дифференциальному уравнению

где штрихом обозначена относительная производная по времени от кинети-

ческого момента, т.е. — производная, вычисляемая наблюдателем, расположенными в системе Oxyz, считающим условно эту систему неподвижной,а ее орты i, j, k — постоянными (в то время как “абсолютный” наблюдатель, расположенный в Ox1y1z1 , считает их переменным по направлению).

Подставим выражение K0=ωJ0 в уравнение (3.39). Получим уравнение

где ω=[ωx ωy ωz], Jo - постоянная матрица тензора инерции в сцепленной системе Oxyz, M0=[Mx My Mz] – вектор-строка главного момента внешних сил, приложенных к телу. Транспонируя строчное дифференциальное уравнение (3.41), получим динамическое уравнение сферического движения тела в столбцевой форме, где {ω},{M0} – столбцы:

Уравнение (3.41), (либо (3.42)) есть матричное динамическое уравнение Эйлера эквивалентное системе трех дифференциальных уравнений. Выпишем его в случае, когда подвижные оси x, y, z направлены по главным осям инерции тела; т.е. для случая диагональной матрицы JO , применяя обозначения

ωx=p, ωy=q, ωz=r:

46

Выполняя перемножения матриц по правилу "строка на столбец", получаем систему трех дифференциальных уравнений Эйлера:

К этой системе присоединим кинематические уравнения Эйлера (3.29), выражающие проекции угловой скорости p, q, r через производные от углов Эйлера

где применены сокращенные обозначения функций синус и косинус.

В целом имеем систему шести дифференциальных уравнений шестого порядка с шестью искомыми переменными.

К системе (3.43)–(3.44) следует присоединить начальные условия, характеризующие начальное состояние твердого тела, вида

Полученную задачу Коши — замкнутую систему шести дифференциальных уравнений с шестью неизвестными и шестью начальными условиями решают численными методами. Отметим, что в нескольких классических случаях эта система имеет символьные решения (случаи Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, С.В.Ковалевской).

3.11. Элементарная теория гироскопа

Гироскопом называют твердое тело, имеющее ось материальной симметрии, которое совершает сферическое движение вокруг закрепленной точки O, расположенной на оси симметрии при условии большой угловой скорости собственного вращения и малых угловых ускорений p&, q&, r&. Геометри-

ческим образом неуравновешанного гироскопа может служить быстровращающийся волчок (рис. 9). В приборостроении широко используют астатические (уравновешенные) гороскопы – маховики, вращающиеся вокруг своих закрепленных центров масс.

Свяжем с телом декартову систему координат Oxyz, причем ось Oz направим вдоль оси материальной симметрии. В этом случае оси Ox, Oy, Oz являются главными осями инерции тела в точке O вследствие его осевой симметрии. Обозначим через A, B, C — главные моменты инерции, где C = Jz , A

= Jy, B=Jy, A=B.

Предполагается, что гироскопу сообщена большая “собственная” угловая скорость ω1 вокруг оси симметрии, которая считается постоянной по мо-

47

дулю, ω1 = const . Предполагается также, что ось гироскопа ввиду внешних

приложенных сил совершает вращение вокруг точки O с малой угловой скоростью ω2 . Векторы ω1 и ω2 называются, соответственно угловой скоростью

собственного вращения и угловой скоростью прецессии. Полная угловая ско-

рость сферического движения ω равна векторной сумме этих двух составляющих: ω = ω1 + ω2 . Считаем, что угловая скорость собственного вращения

на много порядков больше угловой скорости прецессии: ω1 >> ω2.

Тензор инерции гироскопа в системе Oxyz имеет вид диагональной матрицы ввиду осевой симметрии гироскопа:

JO = diag[A, B, C] при B = A.

Кинетический момент гироскопа и его вектор-строка имеет вид,

Основное предположение элементарной теории гироскопа: при вычислении кинетического момента гироскопа можно пренебрегать угловой скоростью прецессии, считать ω ≈ω1 . Отсюда следует, что

KO ≈ H , KO ≈[0,0, H ] при H = Cω1k , H = Cω1 = const.

Таким образом, считаем, что приближенный кинетический момент гироскопа H в системе отсчета Oxyz не меняется по величине и по направлению. Следовательно, равна нулю его относительная производная по времени H ′ = 0. В неподвижной системе координат вектор H поворачивается с угловой скоростью ω2 вместе с осью Oz.

Векторное динамическое уравнение Эйлера (3.40) принимает вид

Динамические уравнения (3.47) в проекциях эквивалентны динамическим уравнениям Эйлера (3.43), в которых следует положить приближен-

но p& = q& = r& = 0.

Из киниматики сферического движения известно, что векторное произведение ω2 ×k равно скорости v конца орта k , т.е. скорости полюса L гиро-

скопа при OL=1. Поэтому равенство (3.47) можно трактовать как векторное уравнение скорости полюса L гироскопа. Получаем:

Отсюда скорость полюса гироскопа сонаправлена с главным моментом приложенных сил и равна по модулю v = Mo/C ω1 . Она является малой величиной в случае большого значения знаменателя, т.е. при большой угловой скорости собственного вращения. Из векторной формулы (3.48) следует формула для модуля угловой скорости ω2 прецессии оси гироскопа:

где отличен угол между угловой скоростью прецессии и собственной осью гироскопа.

Пример 1. Волчок весом G = mg, с собственным моментом инерции C = Jz вращается с большой угловой скоростью ω1 вокруг собственной оси Oz. Из-

48

вестна величина радиус-вектора r центра масс волчка и угол начального отклонения θ оси Oz от вертикали (рис. 9). Определить движение оси волчка. Трением в шарнире пренебречь.

Рис. 9 Неуравновешанный гироскоп

Решение. К волчку приложена сила G = mg и реакция FO шарнира O. Главный момент системы двух сил относительно центра O равен MO = r ×G.

Он направлен перпендикулярно плоскости сомножителей по правилу винта при его повороте на угол α, т.е. направлен горизонтально, перпендикулярно к

плоскости zOz1, параллельно орту n линии узлов; MO ↑↑ n.

По модулю MO = rG sin(α) = mgr sin(θ) ,

где θ – угол нутации, угол отклонения оси гироскопа от вертикали (равный начальному углу отклонения).

Скорость полюса гироскопа v = M0 / Cω1

направлена горизонтально во все моменты времени и сонаправлена с n . Траектория точки C есть пересечение сферы радиуса r и горизонтальной плоскости, проведенной на высоте b = r cosθ, т.е. траектория есть окружность радиуса h = r sinθ. Отсюда следует, что ось волчка вращается вокруг вертикали

с малой угловой скоростью ω2 =ω2k1, величина которой определяется из векторного равенства ω 2 ×k = MO / Cω1 . Отсюда ω2 sinθ = mgr sinθ/Cω1 или

ω2 = mgr/Cω1.

Рассмотренное вращение оси волчка вокруг вертикали с равномерным изменением угла прецессии ψ и постоянным углом нутации θ называется регуляр-

ной прецессией гироскопа.

Пример 2. Уравновешенный (астатический) гироскоп, выполненный в виде круглого цилиндра с осью симметрии Oz, c шарнирно закрепленным центром масс O, вращается с большой угловой скоростью ω1 вокруг сферического шарнира O в условиях пренебрежимо малого трения (рис. 10). По оси махо-

небольшое смещение в направлении оси y, перпендикулярной к силе. Ско49

рость v полюса мала поскольку время удара мало и кинетический момент гироскопа Н предполагается большим.

Рис. 10 Удар по оси астатического гироскопа, вызывающий движение оси в нормальной к F плоскости

По окончании удара ось гироскопа "замирает" в новом угловом положении, мало отклоненном от прежнего. Такое состояние гироскопа называют

неасимптотически устойчивым состоянием по отношению к внешним воз-

мущениям.

Замечание. Элементарная теория неточно описывает движение гироскопа. В действительности ось гироскопа после удара совершает малые (нутационные) вибрации, в которые перешла энергия удара.

Данное свойство астатического гироскопа "устойчиво запоминать направление на звезду" широко используется в бортовых приборах управления, в системах инерциальной навигации.

Пример 3. Гиротахометр, измеритель угловой скорости платформы, представляет собой астатический гироскоп установленный в подшипниках на подвижной платформе, которая в процессе своего движения вращается вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью ω2. (рис. 11) Известна собственная угловая скорость ω1 и осевой момент инерции C, а также известен (измеряется датчиком) момент M динамических реакций подшипников, сонаправленный со скоростью v вращения вокруг полюса. Момент M создают подшипники в виде пары динамических реакций (F F ′) , расположенных в плоскости xz пер-

пендикулярной к вектору M (рис 11). Определить угловую скорость поворота платформы ω2.

Рис. 11 Гиротахометр на вращающейся платформе, создающий давление на подшипники в плоскости ω2Oz

50