центре масс тела C. Осевые и центробежные моменты инерции тела относительно осей координат, а также его тензоры инерции в точках C и О1 связаны формулами

Jx1 = Jx + m(b²+c²), Jy1 = Jy + m(a²+c²), Jz1 = Jz + m(a²+b²), Jx1 y1 = Jxy –a b m, Jy1 z1 = Jyz –b c m, Jx1 z1 = Jxz –a c m,

J1 = JС + mD при

D=[b²+c², -ab, -ac; -ab, a²+c², -bc; -ac, -bc, a²+b²],

где a,b,c - координаты центра масс в системе отсчета О1х1у1z1

Формула преобразования моментов инерции относительно центральных главных осей инерции Схуz на систему Сх’у’z’, повернутую от Схуz вокруг Сz на угол ϕ :

J x' y ' = J xx cos2 ϕ + J yy sin2 ϕ, J y ' y ' = J xx sin2 ϕ + J yy cos2 ϕ,

J x' y ' = 12 (J yy − J xx )sin 2ϕ, J x' z = J y ' z = 0

3.8. Угловая скорость сферического движения тела

Пусть тело совершает сферическое движение, т.е. произвольно вращается вокруг неподвижной точки О в неподвижной системе отсчета Ох1у1z1. Вместо движения тела будем рассматривать движение системы координат Охуz, жестко скрепленной с телом и полностью задающей его положение. Точки системы Охуz моделируют точки твердого тела (рис.6). Подвижную плоскость Оху, связанную с сечением тела, назовем собственной плоскостью, а нормаль к ней, ось Оz — собственной осью тела.

Вместо формул для моментов инерции можно применять нормированные формулы, полученные делением на массу тела, например - нормированный тензор инерции:

Собственная ось обычно направляется вдоль оси симметрии тела, если у тела существует ось симметрии. Например за собственную ось волчка принимают его ось симметрии. Неподвижную плоскость Ох1у1 назовем базовой плоскостью, нормальную к ней ось Оz1— базовой осью. Линия Ox2 пересечения собственной и базовой плоскостей называется линией узлов.

На рис.6 вдоль линии узлов проведены две оси: Ox2 с ортом i2 и ось Ox3 с ортом i3 ; n = i2 = i3 - три различных обозначения орта линии узлов.

39

Рассмотрим взаимное расположение двух систем координат первой и нулевой (рис.6). Перевод системы Ох1у1z1 в положение Охуz можно мысленно разделить на три этапа: поворот на угол ψ вокруг базовой оси z1 в положение Ох2у2z2, поворот на угол θ вокруг оси x2= x3 до положения Ох3у3z3 и поворот на угол ϕ вокруг оси z3=z до конечного “нулевого” положения Охуz. Данные углы последовательных повворотов называются углами Эйлера, причем угол ψ между неподвижной осью и линией узлов называется углом прецессии, угол θ между базовой осью z1 и собственной осью z называется углом нутации и угол поворота ϕ тела вокруг собственной оси z от линии узлов — углом собственного вращения. Обратный переход от системы отсчета Охуz к системе Ох1у1z1 осуществляется в обратном порядке с обратным отсчетом углов поворота: Oxyz → −ϕ → −θ → −ψ →Ox1 y1z1

Иными словами: ψ и ϕ - углы поворота вокруг нормалей к базовой и собст-

венной плоскости, θ - угол, отсчитываемый от базовой оси к собственной оси.

Корабельные углы А.Н.Крылова определяются в предположении, что за базовую плоскость принята вертикальная плоскость курса, а за собственную – плоскость палубы. Для угломерного инструмента ψ и θ - углы расположения в горизонтальной и вертикальной плоскостях (азимут и угол места цели), определяющие направления линии визирования, а ϕ - угол собственного поворота окуляра.

Радиус-вектор r любой точки тела задаем в нулевой системе Охуz век- тор-строкой координат r0=[x y z], а в первой системой Ох1у1z1 вектор-строкой r1=[x1 y1 z1]. Выполним последовательное перепроецирование вектора r из первой (инерциальной) системы на оси второй, третей и нулевой систем. В соответствии с формулой (3.16) получаем последовательность матричных равенств:

r2 = r1C21, r3 = r2 C32, r4 = r3 C03

Отсюда

r = r2 C32 C43 = r1 C21 C32 C03

Находим формулу перепроецирования вектора r из первой Ох1у1z1 (инерциальной) системы отсчета на повернутую, связанную с телом, систему Охуz:

40

Здесь С01 – матрица поворота системы Oxyz от первой системы, представленная произведением трех матриц (с нарастающими значениями вторых индексов), причем С21 – матрица поворота вокруг базового орта k1 на угол ψ,

С32 – вокруг узлового орта n на угол θ, С03 – вокруг собственнго орта k на угол ϕ . Имеем (при коротких обозначениях косинусов и синусов углов)

Отметим, что транспонирование матрицы поворота сводится к изменению знака прерд синусами.

Посредством умножения справа равенства (3.24) на транспонированную матрицу C01´ = C10 находим окончательно формулу перепроецирования радиусвектора r из нулевой системы на первую систему координат:

Получим формулу для матрици проекций угловой скорости тела ω . Вектор-строка v1 скорости любой точки твердого тела в инерциальной (пер-

вой) системе отсчета: v1 = r&1 = rC&10

С другой стороны из формулы распределения скоростей сферического дви-

Сравнивая два полученных выражения для v1, верные для любого значения r, находим кососимметричную матрицу угловой скорости тела в проекциях на собственную систему тела Oxyz:

Здесь вектор-строка ω угловой скорости в Oxyz получена в среде MATLAB выборкой элементов из квадратной матрицы ω% .

При движении тела в общем случае изменяются все углы Эйлера. Производные от этих углов ϕ& , θ& , ψ& называются скалярными угловыми скоро-

стями вращения тела. Очевидно, что при изменении угла Эилера тело поворачивается вокруг орта перпендикулярного к плоскости, в которой показан угол. Можно считать (рис.7), что тело одновременно вращается вокруг орта

k с векторной угловой скоростью ( ϕ&k ), вокруг n и k1 с угловыми скоростя-

ми ( θ&n ) и (ψ&k1 ).

На Рис. 6, 7 показано “положительное состояние” тела, когда углы Эйлера ψ, θ, φ и скалярные угловые скорости ψ&, θ&, ϕ& считаются положительными, что отмечено направленными дугами. Полная угловая скорость сфериче-

41

ского движения ω равна векторной сумме трех составляющих угловых скоростей:

Орт k (рис.6) в нулевой системе Oxyz представлен строкой k=[0 0 1]. Орт i3 в третьей системе представлен строкой i3=[1 0 0], а в нулевой — в виде

[1 0 0]C03(φ, z3). Орт k2 во второй системе представлен строкой k2=[0 0 1], в

третьей — произведением [0 0 1]C32(θ, x3), в четвертой — произведением [0 0 1]C32(θ, x3)C43(φ, z3). На основании (3.28),(3.25) угловая скорость, представляется в системе Oxyz вектор-строкой ω=[ωx, ωy, ωz] вида

Вектор-строка (3.29) угловой скорости тела, выражающая ee проекции через углы Эйлера и их производные, называется кинематическим матричным уравнением Эйлера. Она эквивалентна вектор-строке (3.27)

Замечание. Векторному призведению v =ω ×r сопоставляется вектор-строка v =[vxvyvz ], вычисляемая в системе MATLAB функцией v = cross(ω, r) .

3.9. Кинетический момент сферического движения тела

Пусть твердое тело и сцепленная с ним система координат Oxyz сферически вращаются вокруг неподвижного центра O в инерциальной системе Ox1y1z1 с переменной или постоянной по направлению и величине угловой скоростью ω. Разобьем тело на бесконечно малые частицы, которые можно

принять за материальные точки. Обозначим r(x, y, z) — радиус-вектор части-

момент частицы. (Другие названия: момент импульса частицы, момент количества движения частицы.) Основной динамической характеристикой сферического движения тела является кинетический момент тела. Эта векторная мера движения образована из кинематической векторной меры — угловой скорости, и инерционной меры — тензора инерции тела.

Определение. Кинетическим моментом тела относительно центра вращения O называется вектор, определяемый формулой

где r(x, y, z) и v — радиус-вектор и скорость произвольной точки тела; интегрирование производится по объему тела V. Вектор KO представляет собой

результат векторного суммирования множества бесконечно малых кинетических моментов частиц тела. Перейдем от векторной формулы (3.31) к матричной формуле. Согласно (3.30) имеем вектор-строку скорости частицы v = −ω~r . Векторному произведению r ×v по аналогии с формулой (3.30) со-

поставляем векторстроку vr% = −ω r%2. Принимая это во внимание, сопоставляем выражению (3.31) вектор-строку кинетического момента, образованную

Интегрирование матрицы означает интегрирование каждого ее элемента. Нетрудно убедится, что квадратная матрица (3.33), совпадает с тензором инерции JO, введенным ранее. Получаем утверждение:

Теорема. Вектор-строка кинетического момента сферического движения твердого тела относительно центра O определяется формулой (3.32). Она равна произведению вектор-строки угловой скорости и тензора инерции JO в точке O.

Таким образом, вектор-строка кинетического момента равна произведению вектора-строки угловой скорости и квадратной симметрической матрицы инерции, а столбец кинетического момента равен матрице инерции, умноженной на столбец угловой скорости.

Вектор – столбец определяется транспонированной формулой

{KO} = JO {ω}. (3.34)

Здесь применено свойство симметрической матрицы J0 сохраняться неизменной при её транспонировании.

Частный случай: оси x, y, z направлены по главным осям инерции в точке O тела. Тогда матрица JO имеет диагональный вид JO = diag[A B C], где по диагонали расположены главные моменты инерции A, B, C. В этом случае получаем достаточно простое выражение вектор-строки кинетического момента через главные моменты инерции и через проекции угловой скорости на главные оси инерции:

Из этого выражения следует, что кинетический момент и угловая скорость тела расположены в одном и том же октанте главной системы Oxyz, причем в общем случае эти два вектора не сонаправлены, образуют между собой острый или прямой угол. Они сонаправлены, например, в случае однородного шара, вращающегося вокруг своего центра.

Строку и столбец кинетического момента в неподвижной системе Ox1y1z1 обозначаем K1 и {K1}. По аналогии с выражениями (3.32),(3.34) имеем

43