3.6.Перепроецирование вектора с применением матрицы поворота

Объединим три выражения в одну вектор-строку, т.е. выполним горизонтальную конкатенацию (сцепление) трех выражений. Получим одно матричное выражение:

Здесь rs и rn – вектор-строки вектора r в двух системах отсчета, Csn - матрица поворота s-системы от n-системы отсчета.

Скалярные произведения ортов по существу являются направляющими косинусами осей s -системы по отношению к осям n-системы, например in js = cos(xn , ys ) . В выражении (3.17) формально введено понятие скалярно-

го произведения матрицы-столбца ортов на матрицу-строку ортов. Выражения (3.16) и (3.17) можно запомнить с помощью следующего мнемонического правила. В формуле перепроецирования вектора r из n-системы в s- систему координат (3.16) индексы повторяются в неизменном порядке, а в матрице косинусов (3.17)- в обратном порядке, т.е. орты со вторым индексом выстроены в столбец, а с первым индексом - в строку. Матрица Csn обладает

матрице и матрице обратного поворота с обратными направлениями отсчета углов.

Пример Пусть в роли повернутой s-системы выступает “нулевая” система Oxyz ,а в роли исходной системы – “первая” система Ox1y1z1. Тогда на основании общей формулы (3.16) получим:

C01 - матрица поворота нулевой системы от первой, C10 -первой системы от

нулевой.

Замечание. Не только радиус-вектор r , но и любой вектор a перепроецируется из системы Ox1y1z1 на систему Oxyz и обратно по матричным формулам

a1 = aC10 = a C01, a = a1C01 при a1 =[ax1 ay1 az1] , a =[ax ay az ] (3.19)

Эти формулы перепроецирования, содержащие первые степени направляющих косинусов, выражают основное тензорное свойство любого вектора a. В связи с этим любой вектор называют также тензором первого ранга в пространстве трех измерений.

3.7.Тензор инерции в точке твердого тела

36

Рассмотрим твердое тело. Возьмем декартову систему координат Охуz c ортами i , j , k , скрепленную с телом. Из осевых и центробежных моментов

инерции тела, найденных в этой системе, образуем симметрическую матрицу третьего порядка вида

Матрицу (3.20) называют матрицей тензора инерции тела в точке О,

или кратко — тензором инерции тела. Величины элементов матрицы (3.20) зависят от направления осей в теле, изменяются при изменении этих направлений и зависят от выбора полюса О.

Замечание. Во многих учебниках не вводится знак минус в определяющих формулах (3.14), но при этом входят со знаком минус все центробежные моменты инерции в матрице (3.20). Данное отличие не является существенными, но предпочтительнее иметь в матрице только положительные знаки.

Свойство тензора инерции, тензора второго ранга в пространстве трех измерений, излагается в следующей теореме.

Теорема1: Матрица инерции JО1=J1, отнесенная к декартовой системе Ох1у1z1 определяется через исходную матрицу JО , заданную в системе Oxyz , перемножением трех матриц: транспонированной матрицы поворота “первой” системы от исходной С10= C01´, матрицы JO и матрицы поворота. А именно,

И наоборот, тензор инерции заданный в системе Ох1у1z1 , проецируется на систему Oxyz согласно формуле: JO = C01´ J1 C01

Формула (3.21) напоминает формулу перепроецирования вектора a1=a C10 , но отличается добавлением множителя C10´ = C01 , поставленного на первом месте.

Теорема 2 Для каждого полюса О тела существует такая декартова система координат Оxyz, в которой матрица инерции J0 имеет диагональный вид

JO =diag [ Jx , J y , Jz ] ≡ diag [ A, B, C ]

Диагональные элементы A, B, C этой матрицы являются главными мо-

ментами инерции в точке О тела, а оси Оx, Оy, Оz - главными осями инерции. Здесь все элементы вне главной диагонали, т.е. все центробежные моменты инерции, равны нулю.

Главные моменты инерции Jx=А, Jy=В, Jz=С можно находить как три корня характеристического уравнения det (λE - J1 ) = 0 , где Е — единичная

диагональная матрица третьего порядка, J1 -матрица, вычисленная в исходной системе Ox1 y1z1 . В пакете MATLAB они находятся как три собственных

действительных значения квадратной симметрической матрицы третьего порядка J1 .

37