Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Кафедра теоретической и прикладной механики
Компьютерные технологии в механике приборных систем
Под редакцией В.Г. Мельникова
Учебное пособие
Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов, обучающихся по направлению подготовки Приборостроение и приборостроительным специальностям и аспирантов.
Санкт-Петербург
2006
УДК 531 |
Издание осуществлено при поддержке |
ББК 22.21 |
Российского фонда фундаментальных |
|
исследований согласно проекту 06-08-01338 |
В.Г. Мельников С.Е. Иванов Г.И. Мельников
Компьютерные технологии в механике приборных систем
Учебное пособие / Под редакцией В.Г. Мельникова
Санкт-Петербург: Издательство СПб ГУ ИТМО, 2006. – 127 с.
Пособие содержит векторные и матричные математические модели механики приборных систем в среде MATLAB с систематическим применением пакета расширения Symbolic Math, с предлагаемой системой М- функций и приёмов конкатенации матричных выражений. Внимание уделено составлению матричных динамических и кинетостатических уравнений движения технических объектов на подвижной платформе, приведению систем уравнений Лагранжа и Гамильтона к матричной нормальной форме Коши. На типовых символьных и численных задачах показан непосредственный переход от системы векторных уравнений к матричному уравнению.
Содержание пособия соответствует государственному стандарту высшего образования по направлению подготовки дипломированного специа-
листа 653700 и 551500 “Приборостроение”, 654000, 551900 - “Оптотехни-
ка”по дисциплине ОПД.Ф.02.01 “Теоретическая механика” и “Прикладная механика”.
Пособие адресовано студентам приборостроительных специальностей, а также – аспирантам, инженерам и научным работникам.
Рецензенты:
Проф. д.ф.-м.н. А.М.Лестев (СПб ГУ Аэрокосмического приборостроения)
Проф. д.т.н. Г.Т.Алдошин (Балтийский государственный технический университет "Военмех" им Д.Ф.Устинова)
ISBN 5-7577-0317-2
©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2006.
©В.Г. Мельников С.Е. Иванов Г.И. Мельников, 2006.
2
Предисловие
К настоящему времени издан ряд обстоятельных учебников и учебных пособий по теоретической механике и другим дисциплинам, обеспечивающим математическое моделирование динамики и статики приборных механических систем. Тем не менее имеется необходимость в публикации учебных пособий нового поколения с последовательным применением систем компьютерной математики, использующих большие возможности символьных и численных компьютерных вычислений. Приходится также принимать во внимание существенное сокращение в последние годы количества учебных часов, отводимых во втузах на изучение механики, что делает необходимым поиск компактных форм изложения.
Предлагаемое учебное пособие ориентировано на широкое применение в динамике интегральной системы MATLAB, либо систем Mathematica, Maple, Mathcad. Учебный материал изложен в матричной форме, что способствовало сокращению объема пособия и сделало более обозримыми сложные разделы механики. В пособии представлены все основные разделы кинетики (динамики и статики) механических систем, предусмотренные стандартами образования приборостроительных, оптотехнических и других инженерных специальностей. Сохранена структура курса теоретической механики, принятая в учебниках, но с исключением некоторых частных тем, перекрываемых более общими темами.
Разработана процедура перехода от векторных уравнений к матричным формам уравнений, минуя трудоемкую стадию составления скалярных уравнений. Попрежнему большое внимание уделяется построению векторных моделей в статике и кинетостатике, но в отличие от существующих пособий, здесь векторным уравнениям динамики непосредственно сопоставляются уравнения в матричной форме на основе метода конкатенации матриц, минуя трудоемкую стадию составления систем скалярных уравнений. Переход от системы векторных уравнений к матричному уравнению базируется на системе несложных M- функций, предложенных в пособии. Большое внимание уделено изложению разделов аналитической механики: уравнениям Лагранжа и Гамильтона в нормализованной матричной форме Коши. Методы компьютерного моделирования механических приборных систем в среде MATLAB продемонстрированы на ряде задач, распределенных по главам, а также сосредоточенных в приложении.
Пособие предназначено для студентов технических вузов, а также может быть применено аспирантами, инженерами и научными работниками в своей деятельности при решении сложных технических и научных проблем.
3
Список основных обозначений
r - радиус-вектор точки
r =[x, y, z] =[x y z] - вектор-строка вектора r в декартовой системе
nr
e
{r} r%
r1
C01
C01
координат Oxyz, написанная с пробелами или запятыми между эле- ментами-проекциями вектора.
= | r | - модуль вектора r , nr=norm(r) - орт вектора r , r = nr e
=r′=[x y z]T - вектор-столбец радиус-вектра r
=[0, z, - y; - z,0, x; y,- x,0]- кососимметрическая (3x3) - матрица вектора r в системе Oxyz
=[x1 y1z1 ] -вектор-строка вектора r |
в системе Ox1 y1z1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- матрица |
поворота системы |
|
Oxyz от системы Ox1 y1z1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ; j1 i , j1 j , j1 k ;k1 i ,k1 j ,k1 |
k ] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= i1, j1,k1 |
|
i , j ,k =[i1 i , i1 j , i1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C10 |
- |
|
матрица |
|
поворота системы Ox1 y1z1 |
от |
системы Oxyz |
|||||||||||||||
C10 |
= |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i j k |
i1 j1 |
k1 |
|
r |
|
|||||||||||||||||
r |
= rC |
- формула |
|
перепроектирования вектора |
из системы |
|||||||||||||||||
|
1 01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ox1 y1z1 на систему Oxyz |
|
|
|
||||||||||||||||||
r1 |
= rC10 |
- перепроектирование вектора r из |
Oxyz на |
Ox1 y1z1 |
||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
в системе Oxyz |
|||||||||||||||||
=[X ,Y , Z ] - вектор-строка проекций силы F |
||||||||||||||||||||||
F1 |
= FC10 |
|
|
из Oxyz на Ox1 y1z1 |
||||||||||||||||||
- перепроектирование силы F |
||||||||||||||||||||||
R= ∑Fi — главный вектор внешних сил
i=1n
|
R |
=[Rx , Ry , Rz ] |
|
- |
вектор-строка проекций главного вектора внешних |
||||||||||||||||||||||||||||||
M (r, F) |
сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= cross(r, F)- |
вектор-строка момента силы |
|
|
относительно точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||
F |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
О; r |
- радиус-вектор точки приложения силы, r -вектор-строка. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ∑ |
|
× |
|
= −∑ |
|
|
× |
|
|
главный момент системы внешних сил отно- |
||||||||||||||||||||||
|
M0 |
ri |
Fi |
Fi |
ri |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
сительно точки O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
W (r, F) |
= M |
x |
M |
y |
|
M |
z |
X Y Z |
- бивектор силы относительно точки O |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W (M ) |
= M |
|
|
M |
|
|
|
M |
|
0 0 0 |
|
|
пары сил |
||||||||||||||||||||||
x |
y |
|
z |
- бивектор момента M |
|||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
J |
= J |
x |
|
J |
xy |
J |
xz |
; |
J |
xy |
J |
y |
J |
yz |
; J |
xz |
J |
yz |
J |
тензор инерции тела в системе |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Oxyz , где Jxy |
= −∫∫∫xyρdV , |
Jxz |
= −∫∫∫xzρdV , J yz = −∫∫∫yzρdV |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
V |
||||
|
J1 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- формула перепроектирования тензора инерции из сис- |
|||||||||||||||||||||||
|
= C10 JC10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4