Определение усилий, действующих в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи

Рассматривается мгновенное зацепление – геометрическое место точек контакта в данный момент времени.

Допущения:

1. Все усилия определяются в полюсе зацепления;

2. Трение в контакте – не учитывается;

Условие равновесия шестерни: или (при Х_Σ = 0);

Тогда ; где F_n1 = F_n2; F_r1 = F_r2; F_t1 = F_t2;

Расчет зп на контактную прочность

Условие контактной выносливости: σ_Н [σ_Н];

Рассматриваются 2 цилиндра с радиусами ρ₁ и ρ₂, с модулями упругости Е₁ и Е₂.

В основу расчетной методики положена формула Герца: где - коэффициент учитывает деформационные характеристики материалов цилиндров;

Полагая, что оба цилиндра стальные: (E₁ = E₂ = 2∙10⁵ МПа, и коэффициенты Пуассона ), формула Герца приобретает вид: ; (*)

где - погонная нагрузка [Н/м]; - приведенный модуль упругости;

; откуда ("+" – для внешнего зацепления; "-" – для внутреннего);

Допущения при выводе расчетной формулы:

1. Силы распределены вдоль образующей – равномерно;

2. Материалы цилиндров – однородны, изотропны;

3. Силы трения в контакте – не учитываются;

4. Смазка в контакте – отсутствует;

Результаты расчета по формуле (*) не дают истинных значений σ_Н, т.к. не учитываются реальные условия нагружения ЗП. Поэтому на основе результатов испытаний ЗП вводится поправочный коэффициент (коэффициент нагрузки). Тогда расчетная нагрузка может быть записана в виде: ;

В расчетах принимают L = b₂, где b₂ – ширина венца зубчатого колеса;

Полагая контакт в полюсе зацепления Р, длина контактной линии в прямозубой передачи: ; где - коэффициент торцевого перекрытия, β – угол наклона зубьев (для прямозубой передачи β = 0⁰, р_b – шаг по основной окружности); [Коэффициент перекрытия показывает среднее число пар зубьев, находящихся в зацеплении; например, если ε_α = 1,6, это означает, что 60% времени в зацеплении работают две пары зубьев, 40% - одна пара];

Коэффициент нагрузки равен:

- Коэффициент неравномерности (концентрации) нагрузки по ширине зуба - К_Нβ

Коэффициент К_Нβ зависит от многих факторов, например, жесткости валов, колес и корпуса, твердости зубьев, от симметричности расположения колес относительно опор, ширины колес, погрешностей изготовления.

С уммарный угол перекоса осей зависит от жесткости валов, корпуса зазоров в опорах и т.п.

При симметричном расположении колес (относительно опор) угол γ_Σ ≈ 0 – самый благоприятный случай.

Случай а) - При симметричном расположении колес перекос отсутствует (γ_Σ = 0); зубья колес – абс. жесткие (Δ = 0); погрешность изготовления – отсутствует (δ = 0): В этом случае нагрузка распределяется по ширине зуба равномерно – идеальный случай.

При несимметричном и консольном расположении валов угол перекоса колес составляет - γ_Σ.

Случай б) – есть перекос колес (γ_Σ ≠ 0); зубья – абсолютно жесткие (Δ = 0); погрешности изготовления – отсутствует (δ = 0). Зубья касаются в точке А, создавая кромочный эффект, при этом q→ ∞. (теоретически).

Случай в) - в реальности деформации зубьев (Δ ≠ 0) и погрешности изготовления (δ ≠0) уменьшают влияние перекосов (γ_Σ ≠ 0), при этом нагрузка перераспределяется в соответствие с деформациями отдельных участков зубьев (неравномерно).

Тогда коэффициент неравномерности может быть определен как : ;

Кроме того у широких вал-шестерен могут проявляться деформации зубьев от кручения, в результате чего у левого торца вала-шестерни направление зуба становится не параллельным образующей – схема а;

Участок входного вала-шестерни "аб" на схеме а) обладает меньшей податливостью, чем на схеме б), поэтому неравномерность распределения нагрузки по ширине зубьев больше.

Это обстоятельство необходимо учитывать при проектировании редукторов

К снижению неравномерности нагрузки по ширине зуба ведут следующие рекомендации:

1. Ограничение ширины колес: ψ_вd = b₂/d₁ = 0,4…1,2 – относительная ширина зубчатого венца (по диаметру делительной окружности шестерни d₁), или ψ_ва = b₂/а_w = 0,2…0,4 - относительная ширина зубчатого венца (по по межосевому расстоянию а_w), где

[ψ_вd = 0,5∙ ψ_ва(u ± 1)];