38. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Дифференциальное уравнение и его решение.

Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

Добротность пружинного маятника, согласно Q= /r.

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

39 Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение и его решение.

Рассмотрим к.к., содержащий емкость, индуктивность и сопротивление. 2-й закон Кирхгофа в этом случае запишется в виде

 - коэффициент затухания,

 - собственная циклическая частота.

Учитывая, что U_C = q/C, U_R = iR, = -Ldi/dt, I = dq/dt, получим дифференциальное уравнение колебаний в контуре:

. Введем понятие собственной частоты контура и коэффициента затухания . Тогда уравнение можно записать в стандартном виде: .

Аналогичные уравнение получаются и для величин i, U_C, U_R.

Решение уравнения имеет следующий вид: , где

40 Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, время релаксации, логарифмический декремент, добротность.

Для описания затухающих колебаний используются: время релаксации, коэффициент затухания, логарифмический коэффициент затухания, добротность системы и т.д.

1. Время релаксации .

Временем релаксации называют промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в  е раз (е - основание натуральных логарифмов).

2. Коэффициент затухания .

Коэффициентом затухания называют физическую величину,  обратно пропорциональную времени релаксации:

 = 1/τ  или         =b/2m.

    3. Логарифмический   декремент   затухания 

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный логарифм отношения амплитуды в данный момент времени к амплитуде колебания спустя период.

Действительно,

.

Логарифмический декремент затухания прямо пропорционален произведению коэффициента затухания и  периоду затухающих колебаний.

 

4.  Добротность системы Q.

Из формулы (6.65) параграфа 6.17 следует, что круговая частота частицы (шарика на пружине - осциллятора) с учетом сил сопротивления меньше собственной частоты гармонических колебаний осциллятора без учета сил трения.

Следовательно, период затухающих колебаний  Т, наоборот, больше периода собственных колебаний Т₀. Причина ясна. Вязкое трение тормозит движение шарика.

 Как уже отмечалось выше, при  наличии трения энергия осциллятора уменьшается, превращаясь в тепловую энергию, рассеиваясь в окружающей среде.

Физическую величину, характеризующую потери энергии при затухающих колебаниях, называют добротностью.

Добротность Q физической системы можно найти по формуле

Как известно, энергия прямо пропорциональна квадрату амплитуды, тогда формулу можно представить в следующем  виде:

где  А(t)=A_oе ^- t .

41-Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени. F=F₀*cos(wt)

Дифференциальное уравнение

x=A*cos(wt-φ)

Резонансная частота- такая частота, при которой амплитуда смещения достигает максимума

Механич резонанс –явление резкого возврастания амплитуды вынужденных колебаний при приближен частоты вынуждающей силы к частоте равной или близкой собственной частоте колебаний системы

42-вынужден электромагнитного колебания -незатухающие колебания возникающие под действием внешнего периодически изменяющегося напряжения

Дифференциальное уравнение Q”+2σQ’+w₀²Q=U₀cos(wt)/L

43-Волновой процесс- процесс распространения колебание в сплошной среде (среде непрерывно распределенной в пространстве и обладающей упругими свойствами

Упругие механические волны-это механические возмущения в упругой механической среде

Продольные в которых частицы колеблются в направлении распространения волны.

Поперечные в которых частицы среды совершают колебания в плоскостях перпендикулярных направлению распространения волны.

44 упругая волна называется гармонической если соответствующие ей колебания частиц являются гармоническими

45 бегущие волны- волны которые переносят в пространстве энергию

Плоские и сферические волны это волны для которых волновые поверхности соответственно совокупность параллельных плоскостей перпендикулярных направлению распространения волны или концентрических сфер.

Уравнение плоской волны: ξ(x,y)=Acos (w(t-(x/v))+φ)

Уравнение сферической волны: ξ(r,t)=(A₀/r)cos(wt-kr+φ₀)

Волновое уравнение это дифференциальное уравнение в частных производных описывающее распространение волн в однородной изотропной среде: (∂²ξ/∂x²)+(∂²ξ/∂y²)+(∂²ξ/∂z²)=∂²ξ/V²∂t²

46 Интерференция волн- явление положения в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках при котором получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимостиот соотошения между фазами этих волн

Когерентные волны такие волны разность фаз которых остается постоянной во времени

Условие интерференц макс:k(r₁-r₂)-(ϕ₁-ϕ₂)=±2mπ

Интерференционный максимум: A=(A₀/r₁)+(A₀/r₂)

Условие интерференц мин: k(r₁-r₂)-(ϕ₁-ϕ₂)=±(2m+1)π

Интерференционный минимум A=(A₀/r₁)-(A₀/r₂)

47Стоячие волны- волны которые образуются при наложении двух бегущих волн распространяющихся на встречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами

Уравнение стоячей волны: 𝛏=2Acos(wt)*cos(kx)=𝛏₁+𝛏₂

Пучности стоячей волны-точки амплитуда которых максимальна k=2π/λ

Узлы пучности это точки в которых амплитуда колебаний равна нулю (А_ст=0) точки среды для которых 2πx/λ=±(m+(1/2))λ/2

48 Звуковые волны-распространяющиеся в среде упругие волны которые обладают частотами в пределах 16 Гц-20кГц

Интенсивность звука-сила звука величина определяемая средней по времени энергией переносимой звуковой волной за 1 сек через площадку 1 м² расположеной перпендикулярно направлению распространения волны I=W/st [I]=1Вт/м²

Эффект Доплера изменение частоты колебаний воспринимаемый приемником при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга.

49 Электромагнитные волны-переменные электромагнитные волны распространяемые пространстве в конечной скоростью

Источники электромагнитных волн: ими может быть любой электрический колебательный контур или проводник по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитной волны необходимо создать в пространстве переменное электромагнитное поле, или, соответственно, переменное магнитное поле.

Шкала электромагнитных волн:

Радиоволна: длинна волны λ=10³-10^-4,м Частота волны3*10⁵-3*10¹² Гц (колебательный контур, массовый излучатель)

Световые волны:

Инфракрасное излучение: длинна волны λ=5*10^-4-8*10^-7,м Частота волны 6*10¹¹-3,75*10¹⁴ Гц (Лампы)

Видимый свет: длинна волны λ=8*10^-7-4*10^-7,м Частота волны 3,75*10¹⁴-7,5*10¹⁴ Гц (лазеры)

Ультрафиолетовое излучение: длинна волны λ=4*10^-7-10^-9,м Частота волны 7,5*10¹⁴-3*10¹⁷ Гц (лазеры)

Рентгеновское излучение: длинна волны λ=2*10^-9-6*10^-12,м Частота волны 1,5*10¹⁷-5*10¹⁹ Гц (трубка рентгена)

Гамма-излучение: длинна волны λ=6*10^-12< ,м Частота волны 5*10¹⁹ > Гц (радиоактивный распад)

50-Основные законы оптики: 1.Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

2. Закон независимости световых пучков: эффект производимый отдельным пучком не зависит от того действуют ли одновременно другие пучки или они устранены.

3.Закон отражения: отраженный луч падает в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром проведенным к границе раздела двух сред в точке падения: угол отражения равен углу падения.

4. Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр проведенный к границе раздела в точке падения лежат в одной плоскости.

n₂₁=sin(i₁)/sin(i₂)- относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Абсолютный показатель преломления: n=C/V отношение скорости распространения электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости V в среде.

При углах падения в интервале i_пр до π/2 луч не преломляется, а отражается в первую среду, при чем интенсивности падающего и отражающего лучей одинаковы, это явление называют полным отражением.