35. Маятники: пружинный, математический, физический. Уравнения движения и их решения.

ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК Пружинный маятник — груз массой  , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы .

Решение

Циклическая частота колебаний пружинного маятника  . Период колебаний математического маятника  . Частота колебаний математического маятника  .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Математический маятник — материальная точка массой  , подвешенная на нерастяжимой невесомой нити длиной   и колеблющаяся под действием силы тяжести.

гармоническое уравнение) имеет вид:

.

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где   — амплитуда колебаний маятника,   — начальная фаза колебаний,   — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Циклическая частота колебаний математического маятника  Период колебаний математического маятника  . Частота колебаний математического маятника  .

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Физический маятник — твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела. (В однородном поле силы тяжести центр масс тела совпадает с центром тяжести).

Основное уравнение динамики твердого тела:

Момент силы тяжести .

Циклическая частота колебаний физического маятника  . Период колебаний физического маятника  . Частота колебаний физического маятника  .

36. Колебательный контур. Уравнение электромагнитных колебаний для идеализированного колебательного контура.

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебанияВ идеальном колебательном контуре R =0.  q′′+w20q=0 — уравнение свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре.

Решение этого уравнения имеет вид

 q=q0cosw0t,

где q— начальное (амплитудное) значение заряда, сообщенного конденсатору; w — собственная циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в контуре

 w0=1LC−−−√=1LC√.

Так как  T=2πw0, то  T=2πLC−−−√ — формула Томсона (период свободных электромагнитных колебаний в контуре).

 I=q′=−q0w0sinw0t=I0cos(w0t+π2),

где  I0=q0w0 — амплитудное значение силы тока. 

37. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

                                                

где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, =const — коэффициент затухания, ₀ — циклическая частота свободныхнезатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

 решение уравнения в случае малых затуханий ( )

      

— амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины).Тогда период затуха­ющих колебаний с учетом формулы (равен