Дифференциал функции

Можно доказать, что если функция имеет при некоторой базе предел, равный конечному числу, то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при той же базе (и наоборот): .

Применим это теорему к дифференцируемой функции: .

Отсюда .

Таким образом, приращение функции у состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно х, т.е. f `(x)х; 2) нелинейного относительно х, т.е. (x)х. При этом, так как , это второе слагаемое представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем х (при стремлении х к нулю оно стремится к нулю еще быстрее).

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f `(x)х.

Найдем дифференциал функции у = х.

Так как dy = f `(x)х = x`х = х, то dx = х, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу для дифференциала функции можно записать в виде dy = f `(x)dх. Именно поэтому одно из обозначений производной представляет собой дробь dy/dх.

Геометрический смысл дифференциала проиллюстрирован рисунком 3.11. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение х. Тогда функция y = f(x) получит приращение y = f(x + х) - f(x). Проведем касательную к графику функции в точке М, которая образует угол  с положительным направлением оси абсцисс, т.е. f `(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN KN = MN*tg  = х*tg  = f `(x)х = dy.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение х.

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной:

1. dc = 0.

2. d(cu)=c du.

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v².

Однако, существует важное свойство дифференциала функции, которым не обладает ее производная – это инвариантность формы дифференциала.

Из определения дифференциала для функции y = f(x) дифференциал dy = f `(x)dх. Если эта функция y является сложной, т.е. y = f(u), где u = (х), то y = f[(х)] и f `(x) = f `(u)*u`. Тогда dy = f `(u)*u`dх. Но для функции u = (х) дифференциал du = u`dх. Отсюда dy = f `(u)*du.

Сравнивая между собой равенства dy = f `(x)dх и dy = f `(u)*du, убедимся, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала и получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в этих двух формулах все же есть различие: в первой из них дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = x, а во в торой дифференциал функции du есть лишь линейная часть приращения этой функции u и только при малых х du  u.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Выше было показано, что , т.е. приращение функции у отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем х.

Поэтому при достаточно малых значениях х у  dy или f(x + х) - f(x)  f `(x)х, откуда f(x + х)  f(x) + f `(x)х. Полученная формула будет тем точнее, чем меньше х.

Например, найдем

Итак, y = f(x) = x^1/3. Возьмем x = 125, х = 0,27.

f `(x) = (x<sup>1/3</sup>)`= 1/(3x^2/3)

f(125,27) = f(125 + 0,27)  f(125) + f `(125)*(0,27) = = 5 + 0,27/(3*25) = 5,0036

Например, найдем tg 46^о.

Итак, y = f(x) = tg x. Возьмем x = 45^o = /4, х = 1^o = /180.

f `(x) = (tg x)`= 1/cos²x

f(46^o) = f(/4 + /180)  f(/4) + f `(/4)*(/180) = tg(/4) + + (1/ cos²(/4))*(/180) = 1 + (1/(2/2)²)*(/180) = 1 + /90 ( 1,035)

Кроме того, с помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции у = f(x) при некотором значении аргумента х₁, истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение х с абсолютной погрешностью |х| = |х - х₁|. Если вместо истинного значения f(x₁) взять величину f(x), то абсолютная ошибка функции будет равна |f(x₁) - f(x)| = |y|  dy = f `(x)х.

При этом относительная погрешность функции _y = |y/y| при достаточно малых х будет равна , где Е_х(y) – эластичность функции, а _х = |x/x| - относительная погрешность аргумента.