(i = 1, 2,..., n), (4.15)

которая принимает максимальное значение на оптимальной траектории, т.е.

(4.I6)

Причем это значение Н постоянно и неотрицательно вдоль всей траектории процесса

(4.17)

153.Элементарная задача о предельном быстродействии.

Эта задача может возникнуть при определении закона движения частиц торфа в сушилках и прессах.

Определить оптимальное .управление u(t), переводящее процесс за минимальное время из заданного состояния х₀ в конечное х_к, если диапазон изменения управляющего воздействия 0 ≤ u ≤U.

х(t = 0) = x₀, x(t = t_k) = x_k.

Математическое описание процесса имеет вид

154.Применить принцип максимума к следующим задачам оптимального управления:

а) ;

;

б) ;

;

в) ;

;

г) ;

;

д) ;

;

Здесь а, Т, х⁰ – заданные постоянные; ограничения на управление u не наложены;

е) ;

;

ж) ;

Рассмотреть случаи α = 0 и α = 1.

5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРЕМЕНТОВ В ТОРФЯНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Планирование экспериментов – это поиск рациональной последовательности получения данных о свойствах изучаемых объектов или явлений. План должен предусматривать получение необходимой информации при минимальных затратах времени и средств. Математический аппарат методов планирования экспериментов диктует исследователю жесткую схему постановки опытов и анализа результатов. Однако планирование экспериментов не может заменить собой творческого процесса поиска закономерностей, лежащих в основе изучаемых явлений. С другой стороны та информация, которая необходима для этого процесса, при планировании экспериментов может быть получена в большем объеме и с меньшими затратами.

При традиционном планировании факторам x₁, x₂,…, х_i определяющим в конечном счете отклик у, задают ряд значений (уровней). На каждом уровне одного фактора ставятся опыты по всем уровням другого, так что, если количество уровней у всех факторов одинаково и составляет m, число изменений на каждом уровне – n_повт, а число факторов – i, то общее количество опытов становится весьма большим уже при 2-х факторах:

n_общ = n_повтmⁱ. (5.1)

Так, при планировании опытов с двумя факторами на 4-х уровнях в трехкратной повторности необходимо поставить

n_общ = 34² = 48 опытов.

Дальнейший поиск модели для описания связи у =  (х₁, х₂,…, х_i) ведется на основе корреляционно-регрессионного анализа.

Одним из эффективных современных методов планирования является полный факторный эксперимент

Отличительной особенностью полного факторного эксперимента является постановка опытов на .двух уровнях факторов – верхнем и нижнем причем в опытах используются все сочетания уровней факторов. Для проверки линейности системы ставится дополнительный опыт на среднем (нулевом) уровне. Общее количество опытов с учетом параллельных определений в каждом варианте в полном факторном эксперименте составит

n_общ = n_повт (2ⁱ + 1) (5.2)

При трехкратной повторности в каждом варианте полный двух факторный эксперимент требует постановки

n_общ = 3(2² + 1) = 15 опытов.

Конечная цель полного Факторного эксперимента – отыскание поверхности отклика у = (х₁, х₂,…, х_i). Постановка полного факторного эксперимента сводится к выбору модели уравнения регрессии, составлению плана полного факторного эксперимента, выполнению исследований по запланированной схеме, расчету коэффициентов регрессии, оценке значимости этих коэффициентов. анализу уравнения регрессии. Модель уравнения регрессии без членов высших порядков при двух факторах имеет вид

у = b₀ + b₁ x₁ +b₂ x₂ +b₁₂ x₁ x₂. (5.3)

В случае трех факторов модель уравнения регрессии принимает вид

у = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ + b₃ x₃ + b₁₂ x₁ x₂ + b₁₃ x₁ x₃ + b₂₃ x₂ x₃ + b₁₂₃ x₁ x₂ x₃ (5.4)

Кодированное выражение фактора находят по формуле

(5.5)

где ₀ – значение фактора на нулевом уровне; _i – натуральное значение кодируемого фактора; _ = ₀ - _min = _max - ₀ – называется шагом варьирования.

Кодированное значение фактора на верхнем уровне

на нижнем уровне

на среднем

В матрице планирования значения факторов условно не показывают, а отмечают лишь знаки.

Аналогично строится матрица для трех, четырех и более факторов. Однако использовать полный факторный эксперимент при числе факторов более 4-х нецелесообразно из-за резкого увеличения числа опытов. В этом случае рекомендуется переходить к дробным репликам. Матрица планирования для трех факторов строится следующим образом: записывается матрица для двух факторов при значениях третьего фактора х₃ на нижнем уровне, а затем повторяется запись ее при значениях х₃ на верхнем уровне. Раздел "Расчет" дополняется произведением взаимодействием) факторов х₁х₃, х₂х₃ и х₁х₂х₃.

Расчет коэффициентов регрессии выполняется по методу наименьших квадратов. Вычислительные процедуры в полном факторном эксперименте более просты, чем при традиционном регрессионном анализе, так как структура матрицы нормальных уравнений метода наименьших квадратов в этом случае ортогональна.

Матрица планирования для двух факторов имеет вид:

Факторы

Уровни

i

Шаг варьирования

– 1

0

+1

х1

min

0

max

х2

min

0

max

№ вариантов

Планирование

Расчет

Отклик

х0

х1

х2

х1х2

у1

у2

...

ук

1 2 3 4

+ + + +

– + – +

– – + +

+ – – +

5

Все факторы на нулевом уровне

Расчетные формулы для определения коэффициентов регрессии имеют вид:

(5.6)

(5.7)

(5.8)

где число вариантов опыта – N; N= 2ⁱ, i – число факторов; – среднее значение отклика в каждом варианте.

Так как все значения x_i равны единице, при расчете коэффициентов регрессии меняются лишь знаки у слагаемых

Для определения дисперсии коэффициентов регрессии вычисляются:

1) построчные дисперсии

(5.9)

где к – число повторностей при определении отклика;

2) дисперсия воспроизводимости

(5.10)

3) дисперсия среднего значения

(5.11)

Дисперсия коэффициентов регрессии в N раз меньше дисперсии среднего значения

(5.12)

стандартная ошибка коэффициента регрессии

(5.13)

Значимость коэффициента регрессии определяется неравенством

(5.14)

где t(α, f) принимается по табл.4 в конце практикума с учетом уровня значимости α и числа степеней свободы f = N(k-1).

Если какой-либо коэффициент незначим, то его исключают из уравнения регрессии.

Анализ уравнения регрессии состоит в оценке возможности описания поверхности отклика уравнением без члена высших порядков и возможности исключения парных взаимодействий. Использование уравнения регрессии без членов высших порядков возможно, если

(5.15)

где

(5.16)

(5.17)

где z – число повторностей в опыте с факторами на нулевом уровне.

Возможность исключения парных взаимодействий определяется по критерию Фишера. Если

(5.18)

то можно использовать модель без парных взаимодействий. Дисперсия .адекватности модели вычисляется по формуле

(5.19)

где у_в – значения выхода, вычисленные по уравнению регрессии с членами парных взаимодействий; l – число исключенных ранее линейных членов уравнения регрессии;

f₁ = N+l-i-1, f₂ =k-1. (5.20)

Если условие (5.15) не выполняется, то разность значима, что указывает на значительную кривизну поверхности отклика вблизи нулевого уровня. Для получения уравнения с факторами в натуральном виде производят замену в уравнении регрессии кодированных факторов х_i на правую часть выражения (5.5). Указывают граничные условия применения уравнения регрессии.

155. Поле добычи фрезерного торфа включает 100 карт размером 20x500 м. Запланировать эксперимент, который позволил бы установить влажность фрезеруемого слоя торфяной залежи на этом поле и проверить гипотезу об отсутствии тренда в изменении влажности вдоль поля – от магистрального канала к противопожарному. В предварительных опытах установлено, что несмещенная оценка стандартного отклонения показателей влажности фрезеруемого слоя залежи равна 3,5 %.

156. Запланировать эксперимент по установлению числа повторных определений прочности кускового торфа при фиксированной влажности. По литературным данным стандартное отклонение при определении прочности для серии из 20 кусков торфа оказалось равным 4,2 мПа. Рекомендуемая точность оценки среднего – 2 мПа,

157. Запланировать лабораторный эксперимент по установлению зависимости длительности сушки фрезерного торфа от начальной влажности и удельной загрузки площади рамки по сухому веществу (схема традиционного планирования).

158. Запланировать полный факторный эксперимент по установлению зависимости длительности сушки фрезерного торфа от начального влагосодержания и удельной загрузки площади рамки по сухому веществу. Рекомендации: W_min = 2,5 кг/кг; W_max = 3,5 кг/кг; P_c(min) = 1 кг/м²; P_с(max) =2 кг/м².

159. Запланировать полный факторный эксперимент по установлению зависимости водопоглощаемости кускового торфа от влагосодержания и размера кусков при формовании. Рекомендации: W_min= 0,5 кг/кг; W_max = 1,5 кг/кг; d_ф(min) = 2 см; d_ф(max)= 6 см.

160. Запланировать полный факторный эксперимент по установлению зависимости длительности сушки фрезерного торфа от начального влагосодержания, дисперсности и удельной загрузки площади рамки по сухому веществу. Рекомендации: W_min = 2,5 кг/кг; W_max = 3,5 кг/кг; R_д(min)= 15%; R_д(max) = 35 %; P_c(min) = 1 кг/м²; P_c(max) = 2 кг/м².

161. Определить влияние влажности х₁ , удельной загрузки матрицы торфом х₂ и давления уплотнения х₃ на показатели охвата торфа агрегацией у по результатам полного факторного эксперимента. Матрица планирования и результаты испытаний представлены в таблице:

			Уровни										Шаг варьирования
Факторы			– I			0			+ 1
x1, (w)			65			75			85				λ1 = 10 %
x2 (q)			0,54			0,57			0,60				λ2 = 0,03 г/см2
x3 (pуд)			0,115			0,187			0,260				λ3 = 0,0725 кг/см2
№		Планирование						Расчет						Отклик
варианта		х0		х1	х2		х3	х1х2		х1х3	х2х3	х1х2х3		у1	у2	у3
I		+		-	-			+		+	+			47,3	47,9	49,5	43,2
2		+		+	-			-		-				94,4	95,7	95,9	95,3
3		+		-	+		—	-		+		+		50,8	52,8	50,5	51,4
4		+		+	+		-	+			-	-		97,4	97,6	96,9	97,3
5		+		-	-		+	+				+		43,5	49,3	54,4	50,7
6		+		+	-		+							96,7	94,9	94,9	95,5
7		+		-			+	-		-				51,5	49,1	52,1	50,9
8		+		+	+		+			+	+	+		97,2	97,0	97,4	97,2
9		Все факторы на нулевом уровне												73,4	73,8	74,2	73,8

162. Запланировать полный факторный эксперимент по установлению зависимости насыпной плотности фрезерного торфа от начальной плотности и дисперсности фрезеруемого слоя залежи. Рекомендации: γ_ф(min) = 600 кг/м³; γ_ф(max) = 800 кг/м³; R_д(min) = 20 %; R_д(max) = 30 %.

6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТОРФЯНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Современное развитие вычислительной техники привело к необходимости повысить точность инженерных расчетов и перевести их на более солидную математическую основу. При этом на практике зачастую приходятся пользоваться приближенными численными методами решения задач.

Численные методы решения задач торфяного производства до на-стоящего времени не нашли широкого применения, В данном практикуме ставили целью подобрать задачи торфяного производства, решаемые численными методами, а также научить студентов простейшим методам их решения. Изложение методов решения задач имеет cугубо практический характер без теоретического их обоснования.

6.1. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(6.1)

Каждое уравнение делим на коэффициент при х₁. Если в каком-нибудь из уравнений коэффициент при х₁ равен нулю, то это уравнение перепишется без изменений:

(6.2)

Вычтем первое уравнение из остальных. Получим систему вида:

(6.3)

Перейдем ко второму шагу. Каждое из уравнений, начиная со второго, разделим на коэффициент при х₂ в этом уравнении и вычтем второе уравнение из остальных. Если в₂₂=0, то это уравнение перепишем без изменений. Процесс продолжаем по этой схеме n раз, после чего получим треугольную систему:

(6.4)

Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы называется прямым ходом.

Из треугольной системы находим значения неизвестных, начиная с последнего уравнения, где уже найдено значение неизвестного х_n. Этот процесс называется обратим ходом.

163. Решить следующие системы уравнений .для вычисления вероятностей движения резерва фрезерного торфа на торфопредприятии:

a)

б)

в)

6.2. Интерполирование функций

Интерполяционная формула Ньютона при нахождении неизвестных значений у(х) для промежуточных значений аргумента имеет вид

(6.5)

h = x_i+1 –x_i = ∆x_i = const.

Остаточный член R_n (x) равен

(6.6)

где ξ- некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы x_i (i = 0, 1, ..., n) и точку х₀.

Горизонтальная таблица конечных разностей имеет вид:

х	у	Δу	Δ2у	Δ3у	Δ4у
х0 х1 х2 х3 х4 х5	у0 у1 у2 у3 у4 у5	Δу0 Δу1 Δу2 Δу3 Δу4	Δ2у0 Δ2у1 Δ2у2 Δ2у3	Δ3у0 Δ3у1 Δ3у2	Δ4у0 Δ4у1

Конечными разностями функции у = f(x) называются разности:

Δу_i = у_i+1 – у_i – конечные разности первого порядка;

Δ²у_i = Δу_i+1 – Δу_i – конечные разности второго порядка;

............................

Δ^ку_i = Δ^к-1у_i+1 – Δ^к-1у_i – конечные разности к-го порядка.

164. Угол естественного откоса штабеля фрезерного торфа изменяется в пределах 40...42°. По заданной таблице значений функции у = tq α, пользуясь линейной интерполяцией найти:

α,0	у
40 41 42	0,6391 0,6693 0,9036

165. По заданным в таблице значениям критических приведенных

влагосодержаний мелкокускового торфа, описываемых уравнением W_к.п= R^{– 0,4} , где R – степень разложения торфа, пользуясь линейной интерполяцией, найти значения приведенных критических влагосодержаний для торфа степени разложения R = 16; 17; 22; 27 %.

R, %	Wк.п, кг/кг
15 20 25 30	3,39 3,02 2,76 2,52

166. По заданным продолжительности сушки кускового торфа и диаметру кусков при постоянном критерии слоя, связь между которыми выражается зависимостью , пользуясь линейной интepпoляцией, найти продолжительность сушки для начального диаметра кусков d_н = 15; 30; 50 мм.

dн, мм	20	40	60	80
τ, ч	23,2	48,1	73,6	99,6

167. Написать интерполяционный многочлен Ньютона и остаточный член для зависимости изменения влагосодержания фрезерного торфа от продолжительности сушки τ , заданной таблицей

τ, ч	0	0,8	1.6	2,4	3,2
W, кг/кг	2,1	1,85	1,22	0.93	0,72

168. Написать интерполяционный многочлен Ньютона и остаточный член для зависимости изменения влагосодержания кускового торфа от продолжительности сушки τ, заданной таблицей

τ, ч	0	72	144	216
W, кг/кг	4,0	2,43	1,22	0,42

6.3. Численное дифференцирование