Лабораторная работа № 8 Аппроксимация табличной функции методом Ньютона
Постановка задачи:
Пусть величина y является некоторой функцией аргумента x, но её невозможно записать в виде некоторой формулы, или эта формула очень громоздка и трудна в работе, но при этом задана таблица:
узлы
-
. . .
значение
функции
в этих узлах
. . .
В водим некоторое , .
Необходимо найти приближённое значение этой функции в некоторой точке x.
Особенность метода – может применяться только для равноотстоящих узлов:
xi+1 – xi=h-const (шаг интерполяции).
Если z ближе к x0 – I многочлен Ньютона, а если z ближе к xn – II многочлен Ньютона.
I многочлен Ньютона:
II многочлен Ньютона:
Cтроим таблицу:
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
. . . |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
. . . |
|
Исходные данные:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция для проверки: y=tg(cos(x)).
Алгоритм решения:
1) Создать функцию для вычисления факториала:
fakt(int n)
2) Входные данные:
float X[N] = {.., .., .., .., .., .., .., ..,};
float Y[N] = {.., .., .., .., .., .., .., ..,};
3) Рассчитать h:
h=x0 – x1
4) Формирование матрицы конечных разностей:
4.1. заполняем 1 столбец
н. ц. i = 0, n-1
ai0=yi
к. ц. i
4.2. заполняем остальные столбцы
н. ц. j=1, n-1
н. ц. i=0, n-j
aij = ai+1j-1-aij-1
к. ц. i
к. ц. j
5) Ввод z.
6) Начальные установки:
N=0
k=1
7) Проверка условия:
если z<x[N/2]
7.1. t=(z – x[0])/h
7.2. н. ц. j=0, N-1
N=(N+k*a0j)/fakt(j)
k=k*(t-j)
к. ц. j
иначе
7.3. t=(z – x[N])/h
н. ц. j=0, N-1
N=(N+k*an-j-1 j)/fakt(j)
k=k*(t+j)
к. ц. j
8) Вывод результата: N.
9) Проверка:
y=f(z)
y ≈ N
Текст программы:
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream.h>
int n=8,pr=0;
float *X,*Y,h,**A;
void init(int q)
{
if(q)
{X=new float [n];
Y=new float [n];
A=new float *[n];
for(int i=0;i<n;i++) A[i]=new float [n-i];
}
else
{delete[] X;
delete[] Y;
for(int i=0;i<n;i++) delete[] A[i];
delete[] A;}
}
void example(void)
{
n=8;
init(1);
float x[8]={0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1, 1.3, 1.5},
y[8]={1.540, 1.414, 1.204, 0.960, 0.716, 0.487, 0.274, 0.017};
for(int i=0;i<8;i++) {X[i]=x[i]; Y[i]=y[i];}
cout<<"\nVvod x[8]: ";
for(i=0;i<n;i++) printf("%.1f ",X[i]);
cout<<"\n\nVvod y[8]: ";
for(i=0;i<n;i++) printf("%.3f ",Y[i]);
cout<<endl;
pr=1;
}
float f(float x)
{
float t=1;
for(int i=1;i<=x;i++)
t*=i;
return t;
}
void main(void)
{
clrscr(); textmode(2);
cout<<"Vvod 0 "; gotoxy(9,1); cin>>n;
int i,j;
if(n<=0) example();
else
{
init(1);
cout<<"Vvod x["<<n<<"] ";
for(i=0;i<n;i++)
cin>>X[i];
cout<<"Vvod y["<<n<<"] ";
for(i=0;i<n;i++)
cin>>Y[i];
}
h=X[1]-X[0];
for(i=0;i<n;i++)
A[i][0]=Y[i];
for(j=1;j<n;j++)
for(i=0;i<n-j;i++)
A[i][j]=A[i+1][j-1]-A[i][j-1];
float z;
cout<<"\nVvod x: "; cin>>z;
float N=0,K=1,t;
if(z<X[n/2])
{t=(z-X[0])/h;
for(j=0;j<n;j++)
{N+=K*A[0][j]/f(j);
K*=(t-j);}
}
else
{t=(z-X[n-1])/h;
for(j=0;j<n;j++)
{N+=K*A[n-j-1][j]/f(j);
K*=(t+j);}
}
cout<<"\nf("<<z<<")="<<N;
if(pr) cout<<"\n\nProverka: tg(cos("<<z<<"))="<<sin(cos(z))/cos(cos(z));
init(0);
getch();
}
Скриншот результата программы (при x=0, 4):
Результаты работы программы и проверка:
Результаты работы программы и проверка (проверка говорит о том, что решение правильное):
f(0, 4) = 1, 316354
Если сравнить результаты аппроксимации табличной функции методом неопределённых коэффициентов (методом Вандермонда), методом Лагранжа и методом Ньютона, то результаты почти совпадают (можно даже сказать, что совпадают).
Скриншот результата программы (при x=0, 8):
Результаты работы программы и проверка:
Результаты работы программы и проверка (проверка говорит о том, что решение правильное):
f(0, 8) = 0, 836674