43. Критерий Манна-Уитни.

Пусть имеется две независимых выборки Х,У обьемами n₁, n₂.

Пусть по их законе распределения ничего неизвестно.

F(x)=F, G(y)=G

Поставим задачу сравнения этих ф-ций. Критерий проверки таких гипотез наз.- непараметрическим. Суть этих критериев состоит в том, что они не используют исходные количественные данные.

H₀: F(x)= G(y), H₁: F(x)≠ G(y)

Критерий Манна-Уитни не использует количество данных, а основано на понятиях >< - оно наз. ранговым.

Две выборки Х,У объединяются в одну и упорядочиваются по возрастанию. Каждое исходное значение заменяется своим рангом – номером по порядку объединенной выборки.

R _1,i – ранг i-го значения из выборки х.

R _2,j – ранг j-го значения выборки y.

Подсчитаем сумму рангов 1 и 2 выборки:

R ₁ = ∑ R _{1,i .} R ₂ = ∑ R _2,j

Обозначим R=min { R _1, R ₂ }

Статистика Манна-Уитни имеет вид: U =R – ½* n₁ (n₁ +1), R ₁ < R _2.

MU= (n₁ * n₂)/2 DU= ((n₁ + n₂)/12 )* (n₁ * n₂ )

Распределение статистики U имеет спец. вид n₁ / n_{2 =}α< +∞, но при n₁, n_{2 →}+∞ распределение U быстро стремится к нормальному. Это сходимость настолько быстрая, что при n₁ * n₂ >8 можно пользоваться нормальным распределением при проверке H_0. В этом случае нужно сделать преобразование стандартизации для нормального распределения.

Zнабл.=(U-MU)/√DU и по табл. норм. распред. на основании выбронного ур-ния значимости нах. Zкр.

Если Zнабл< Zкр, то нет основания отвергать H_0,

44. Парная регрессия.

Пусть изучается взаимосвязь м/д 2мя количественными признаками X и Y.

X и Y могут быть независимы, связаны между собой функциональной либо корреляционной зависимостью. При функцион зависимость изменения каждогознач Х влечет изменение каждого У.

При корреляции зависимость изменений каждого отдельного значения Х не обязательно влечет за собой изменение Y, однако изменение приводит к изменению .

Зависимость вида y=f(x)+ , - ошибка оценки.

Чтобы установить вид зависимости строится поле корреляции. На OXY наносят координаты (x_i, y_j) и по расположению точек делают вывод о виде зависимости.

Пусть вид зависимости линейный.

(1)

Коэффициенты b₀ и b₁ найдем по методу наименьших квадратов

теоретические значения y.

Найдем b₀ и b₁ такие, при которых функция S достигает минимума.

{

Перейдем к средним значениям, поделив на n.

{

(2)

(3)

Методика построения уравнения регрессии

45. Парный коэффициент корреляции, его свойства.

(4)

Коэффициент обладает все теми же свойствами, что и теоретический коэффициент корреляции.

1.если x и y независимы, то 0.

2.-1<= 1

3.если x и y связаны линейной зависимостью, т.е. при , то

b₁>0, =1

B₁<0, =–1

Таким образом коэффициент является количественной характеристикой зависимости x и y. Чем ближе к единице, тем теснее и ближе к линейной зависимости между X и Y.