10. Математическая статистика

Х — изучаемая СВ (признак), — её различные наблюдаемые

значения (вариан­ты), встречающиеся соответственно раз в выборке объёма из генеральной совокупности; — частота (абсолютная), относительная частота варианты , — число различных вариант выборки.

Статистический ряд:

или

Мода вариационного ряда — варианта, имеющая максимальную частоту.

Выборочные (точечные) оценки параметров распределения признака

в генеральной совокупности:

а) выборочная средняя (несмещённая оценка генеральной средней М(X)):

;

б) выборочна дисперсия (смещённая оценка D(X)):

;

в) исправленная выборочная дисперсия (несмещённая оценка D(X)):

или ;

г) исправленная выборочная оценка среднеквадратического отклонения (несмещённая оценка ): или .

Парная регрессия: — две СВ, — выборка, содержащая пар значений признаков .

Линейная регрессия на : или — приближённое представление статистической зависимости от (в форме линейной зависимости), — коэффициент регрессии,

где , — средние выборочные значения,

— выборочные оценки , — выборочный коэффициент корреляции, ;

;

— мера тесноты линейной корреляционной зависимости СВ и ;

(прямая зависимость от );

(обратная зависимость от ).

Оценки параметров:

а) точечная (определяется одним числом);

б) интер­вальная (определяется концами интервала , сим­мет­рич­ного относи­тельно точечной оценки , покрывающего с определённым уровнем надёж­ности точное неизвестное значение параметра распределения генеральной совокупности).

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде (законе) неизвестного рас­пре­­­деления или о параметрах известного распределения признака в генеральной совокупности.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается . Гипотеза, противо­положная нулевой, называется конкурирующей и обозначается .

Ошибка первого рода — отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом деле является верной. Вероятность совершить ошибку первого рода назы­ва­ется уровнем значимости.

Ошибка второго рода — принимается нулевая гипотеза, когда на самом деле является верной конкурирующая гипотеза.

11. Математические модели в экономике

Функции, используемые в экономике:

а) издержки производства где — объём продукции;

б) функции спроса и предложения , где — цена единицы товара; равновесная цена находится из уравнения ;

в) производственная функция , где — объём выпускаемой продукции, — капитал, — труд, .

Экономические приложения производной:

1) Предельная (маржинальная) величина функции — скорость изменения, т. е. производная функции (например, — предельные издержки производства).

2) Темп функции — величина (обозначается ), равная лога­рифмической производной данной функции, т. е. .

3) Эластичность функции (обозначается ) — произведение переменной на темп этой функции, т. е. (например, эластич­ность по спросу , эластичность по предложению ).

4) Коэффициент эластичности функции нескольких переменных по переменной — произведение этой переменной на темп изменения функции по данной переменной, т. е. (напри­мер, для производственной функции коэффициент эластичности по капиталу равен , по труду — ).

Элементы теории игр

Пусть — возможные стратегии 1-го игрока, — возможные стратегии 2-го игрока, — выигрыш 1-го игрока при выборе им -й стратегии , а 2-м игроком — -й стратегии .

Платёжная матрица: .

Нижняя цена игры — максимум из минимумов по строкам платёжной матрицы:

.

Верхняя цена игры — минимум из максимумов по столбцам платёжной матрицы:

.

Игра с «природой»: Пусть — возможные стратегии игрока, — возможные стратегии «природы», — выигрыш игрока при выборе им -й стратегии , в то время как «природой» выбрана стратегия с вероятностью .

Матрица выигрышей в игре с «природой»: