6. Интегральное исчисление

— первообразная для , если ; ;

EMBED Equation.DSMT4

.

;

.

7. Дифференциальные уравнения (ду)

Решение ДУ — дифференцируемая функция, обращающая ДУ в верное тождество.

Порядок ДУ — порядок старшей производной (старшего дифференциала) в данном уравнении.

Задача Коши для ДУ 1-го порядка вида : найти частное решение ДУ, удовлетворяющее условию , где — заданные числа.

Типы ДУ 1-го порядка:

а) с разделяющимися переменными:

или (решается разделением переменных: …);

б) однородное (в однородных функциях): или , где — однородные функции одинаковой степени однородности (решается заменой );

в) линейное неоднородное:

г) типа Бернулли:

(решаются методом Бернулли сведением к двум ДУ с разделяющимися

переменными для функций : …).

Линейное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

(однородное, если , и неоднородное, если ).

Общее решение неоднородного ДУ: , где — общее решение однородного, — какое-либо частное решение неодно­родного ДУ.

Решение однородного ДУ: составляется характеристическое уравнение ;

а) корни — действительные, ;

б) корни — действительные, ;

в) корни — комплексно сопряжённые

.

Решение линейного неоднородного ДУ методом подбора: если — многочлен от х сте­пе­ни m, то , где — многочлен степени m с неопреде­лёнными коэффициентами, — крат­ность корня характеристического уравнени­я.

8. Ряды

Ряд сходится, если где ;

— сумма ряда.

Ряд сходится ; ряд расходится.

.

расходится.

.

Признаки сравнения положительных рядов:

1) при :

а) ;

б) .

2) (эквивалентны).

Признаки сходимости положительных рядов :

1) Даламбера:

2) Радикальный признак Коши:

Условия сходимости знакопеременных рядов:

сходится сходится абсолютно;

сходится, а расходится сходится условно.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда ,

: если и , то ряд сходится, .

Степенной ряд : интервал сходимости ,

радиус сходимости или .

Степенные разложения:

а) ; б) ;

в) ;

г) .

Гармонические колебания: простая гармоника или , где — амплитуда, — частота, — начальная фаза.

Ряд Фурье для функции с периодом , заданной на :

,

, n=1,2,…

Ряд Фурье для функции , заданной на :

а) по косинусам ( — чётная функция, ):

; ;

б) по синусам ( — нечётная функция, ):

; .

9. Теория вероятностей

Элементы комбинаторики:

Число перестановок (упорядоченных комбинаций) из n элементов: .

Число сочетаний (неупорядоченных комбинаций) из n элементов по m:

Число размещений (упорядоченных комбинаций) из n элементов по m:

.

Сумма событий — наступление хотя бы одного из событий или .

Произведение событий — наступление обоих событий и .

;

— условная вероятность события при условии, что событие произошло в данном опыте.

Классическая вероятность: , — число всех случаев полной группы попарно несовместимых, равновозможных исходов опыта, — число случаев, благо­приятствующих событию А.

Геометрическая вероятность: , — мера (длина, площадь или объём) бесконечного множества всех элементарных исходов, — мера подмножества всех элементарных исходов из , благоприятствующих событию А. Используется при равномерном распре­делении по вероятностей событий, прямо пропорциональных мере под­множеств благоприятствующих исходов.

Теорема сложения: .

Теорема умножения: .

А не зависит от В (т. е. ) .

Формула Бернулли: ; ;

; — наивероятнейшее (модальное) значение числа появления события A в серии из независимых испытаний в схеме Бернулли, — вероятность появления A в каждом отдельном испытании.

Формула полной вероятности:

, — гипотезы

( — достоверно, — невозможно, ).

Функция распределения (интегральная) случайной величины (СВ) X:

.

Функция плотности вероятности: ;

; .

Математическое ожидание (среднее значение) СВ Х:

а) Х — дискретная СВ: ;

б) Х — непрерывная СВ: .

Дисперсия СВ Х: ;

а) Х — дискретная СВ: ;

б) Х — непрерывная СВ:

.

Среднеквадратическое отклонение СВ Х: .

Математическое ожидание функции дискретной СВ Х:

.

Закон Бернулли (биномиальный): ;

;

; , ; .

Закон Пуассона: ; ; ;

.

Равномерный закон:

; .

Показательный закон: .

Нормальный закон Гаусса: ;

.