3. Ответы на контрольные вопросы

1. Что называется генеральной совокупностью?

Пусть X – некоторая случайная величина. Числа x₁, x₂,x₃…,x_n, являющиеся значениями X, называются её реализацией и образуют статистическую (генеральную) совокупность.

2. Что называется выборкой? В чем состоит репрезентативность выборки?

Выбранные из генеральной совокупности элементы образуют выборку S={ x₁, x₂,x₃…,x_n }. Репрезентативность выборки состоит в том, что характеристики выборки соответствуют характеристикам генеральной совокупности в целом. Репрезентативность определяет, насколько возможно обобщать результаты исследования с привлечением определённой выборки на всю генеральную совокупность, из которой она была собрана. Можно утверждать, что выборка репрезентативна, если она (выборка) осуществлена случайно.

3. Как строится вариационный ряд?

Вариационный ряд — упорядоченная по величине последовательность выборочных значений x₁, x₂,x₃…,x_n наблюдаемой случайной величины, т.е. x⁽¹⁾ ≤ x⁽²⁾, x⁽²⁾ ≤ x⁽³⁾ и т.д..

4. Какое распределение называется выборочным? Выборочным распределением называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями .

5. Как строится гистограмма? Полигон? График выборочной функции распределения?

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются случайные частичные интервалы длинной b, а высоты равны отношению n_i/b или n_i. Для построения на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длинной b, а над ними проводятся отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/b или n_i от неё. Полигон – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (z₁, n₁),…, (z_k, n_k). для построения на оси ординат откладываются значения частот n_i, а на оси абсцисс – середины интервалов z_i. Точки (z_i, n_i) соединяются отрезками.

6. Как вычисляется выборочное среднее? Выборочная дисперсия? Выборочное стандартное отклонение? Выборочный центральный момент?

Выборочное среднее характеризует наиболее вероятное значение ВСВ и определяется как: x_ср =

Выборочная дисперсия характеризует наиболее вероятную степень отклонения x_i от x_ср и определяется как: D_x = = (несмещенная) D^*_x = = (смещенная)

Выборочное стандартное отклонение определяет среднеквадратическую погрешность x_i если за точное значение принять x_ср и определяется как:

σ =

Выборочный центральный момент определяется как:

M_k =

7. В чем состоят особенности вычислений числовых характеристик для группированного ряда?

Для вычислений числовых характеристик группированного ряда

8. Как определяется выборочная мода? Медиана?

Выборочной модой d_x является элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

Выборочная медиана h_x – число, которое делит вариационный ряд на 2-е части, содержащие равное число элементов. Если n – нечетное число (n=2k+1), то h_x= x_k+1. Если n – четное число (n=2k), то h_x= (x_k + x_k+1).

9. Как вычисляется и что характеризует коэффициент асимметрии выборки? Коэффициент эксцесса?

Коэффициент асимметрии А характеризует скошенность графика функции плотности f(x) относительно графика функции плотности для СВ, распределенной по нормальному закону распределения. При А=0 – график симметричен,

А>0 – вытянута правая часть графика,

А<0 – вытянута левая часть графика.

A = =

Коэффициент эксцесса E – степень остроты вершины графика по отношению к графику f(x) для СВ, распределенной но нормальному закону распределения.

E=0 – график совпадает с графиком нормального распределения,

E>0 – вершина более острая,

E<0 – вершина менее острая.

E = =

10. Какие оценки параметров называются точечными? Перечислите основные свойства точечных оценок. Точечной оценкой θ^* параметра θ называется приближенное значение этого параметра по выборке. Основные свойства:

• Состоятельность. Оценку называют θ^* состоятельной, если она обладает следующими свойствами:

  • для любого > 0

На практике применяют следующие свойства:

• 

• 

• Несмещенность. θ^* - несмещенная оценка для θ, если .

• Эффективность. θ^* - эффективная оценка для θ, если в классе линейных несмещенных оценок θ^* обладает линейной дисперсией.

11. Каковы точечные оценки математического ожидания и дисперсии? Точечной оценкой математического ожидания является выборочное среднее. Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия.

12. В чем состоит метод максимального правдоподобия? Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра θ принимается значение , доставляющее максимум функции правдоподобия L(θ)= .

13. Доказать несмещенность и состоятельность выборочной средней как оценки математического ожидания. x_ср = Рассмотрим эту статистику как функцию выборочного вектора (X₁, …, X_n). По определению выборочного вектора имеем: M[X_i] = m и D[X_i]= σ², i = 1,2,…,n, причем X_i – независимые в совокупности случайные величины. Следовательно, M[X_i] = M[ ] = = = m D[X_i] = D[ ] = = = Отсюда получаем, что x_ср – несмещенная оценка m, и так как D[x_ср] 0 при n , то x_ср является состоятельной оценкой математического ожидания m генеральной совокупности.

14. Как определяется несмещенная дисперсия? D_x = =

15. Перечислите основные распределения, используемые в статистических расчетах. Как определяются квантили этих распределений? От чего они зависят?

• Распределение Стъюдента

• Нормальное распределение

• Распределение Фишера

• Распределение “хи-квадрат”

Квантили этих распределений табулированы и зависят от доверительной вероятности и степеней свободы.

16. Как строится доверительный интервал для математического ожидания? Дисперсии?

Используя формулу , получаем доверительный интервал для математического ожидания. В формуле:

Выборочное среднее, S² - дисперсия несмещенная, S= стандартное отклонение, - уровень значимости, n - объем выборки, квантиль распределения Стьюдента.

Можно утверждать, что с вероятностью математическое ожидание лежит в пределах от до .

Используя формулу , получаем доверительный интервал для дисперсии. В формуле:

S² -дисперсия несмещенная, - уровень значимости, n - объем выборки, квантиль распределения “хи-квадрат”.

Можно утверждать, что с вероятностью дисперсия лежит в пределах от до .

17. Какая гипотеза называется нулевой? Альтернативной? В чем состоят ошибки первого и второго рода? Нулевой гипотезой H₀ называют проверяемую гипотезу. Альтернативной гипотезой H₁ называют гипотезу, которая рассматривается наряду с нулевой, и принимается в случае её отклонения (отклонения нулевой гипотезы).

Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза H₀ отклоняется, в то время как она верна.

Вероятность такой ошибки: P(Z_в ∈V_k|H₀)=α

Ошибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза

H₀ принимается, в то время как она не верна.

Вероятность такой ошибки: P(Z_в ∈V\V_k|H₁)=β

18. В какой последовательности проводится проверка параметрической гипотезы?

• Формулируются нулевая H₀ и альтернативная H₁ гипотезы. Правило, по которому принимается решение принять или отвергнуть нулевую гипотезу называют критерием K и задают некоторой случайной выборочной величиной.

• Выбирают статистику Z критерия K для проверки нулевой гипотезы.

• Назначают уровень значимости α. α равна вероятности попадания критерия во множество значений V статистики Z при условии H₀.

• Определяют выборочное распределение статистики Z при условии, что нулевая гипотеза верна.

• Определяют критическую область V_k.

• Вычисляют выборочное значение статистики Z=Z_в.

• Принимают статистическое решение. Если Z_в принадлежит критической области V_k, то нулевая гипотеза отклоняется. Если Z_в принадлежит области V и не принадлежит критической области V_k, то нулевая гипотеза принимается как согласующаяся с результатами наблюдений.

19. Как проверяется гипотеза о равенстве двух дисперсий, если математические ожидания известны? Неизвестны?

Используется предыдущий алгоритм.

H₀ – .

Если математические ожидания известны, то в качестве Z , , распределение Z: F(n₁ n₂),

область принятия нулевой гипотезы для двустороннего критерия: ,

альтернативная гипотеза H₁ – и область принятия гипотезы H₀ для правостороннего критерия: .

Если математические ожидания неизвестны, используется критерий Бартлетта.

20. Какие критерии используются для проверки гипотез о виде распределения? В чем состоит критерии согласия хи-квадрат?

Для проверки гипотез о виде распределения используется критерий согласия, критерий нормальности(частный случай критерия согласия), критерий Колмогорова-Смирнова, критерий хи-квадрат (Пирсона), критерий омега-квадрат (фон Мизеса). Критерий согласия хи-квадрат состоит в том, что для проверки критерия вводится статистика: где  — предполагаемая вероятность попадания в k-й интервал,  — соответствующее эмпирическое значение частоты, n_k — фактическая частота интервала k, n — полный объём выборки. Если полученная статистика превосходит квантиль закона распределения заданного уровня значимости α с (k-p-1) степенями свободы, где k— число наблюдений или число интервалов (для случая интервального вариационного ряда), а p— число оцениваемых параметров закона распределения, то гипотеза H₀ отвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости α.

.