2. Таблица группированной статистической выборки

   №	Граница левая	Граница правая	zi	ni	Σ ni	ni/n	Σni/n
   1	57	62,1	59,55	4	4	0,06	0,06
   2	62,1	67,2	64,65	9	13	0,14	0,20
   3	67,2	72,3	69,75	4	17	0,06	0,26
   4	72,3	77,4	74,85	2	19	0,03	0,29
   5	77,4	82,5	79,95	12	31	0,18	0,47
   6	82,5	87,6	85,05	12	43	0,18	0,65
   7	87,6	92,7	90,15	10	53	0,15	0,80
   8	92,7	97,8	95,25	8	61	0,12	0,92
   9	97,8	102,9	100,35	4	65	0,06	0,98
   10	102,9	108	105,45	1	66	0,02	1,00

3. Графики

4. Проверка гипотезы о нормальности распределения Объем выборки n = 66. Для проверки гипотезы о нормальном распределении нужно найти оценки математического ожидания и дисперсии. Т.к. они уже были рассчитаны, имеем: m = 81,36 , D_x = 149,13

№	Граница левая	Граница правая	Наблюдаемая частота, nk	Объединенные интервалы	Вероятность попадания в интервал, pk	Ожидаемая частота, npk
1	57,00	62,10	4	13	0,100	6,603	6,397	6,198
2	62,10	67,20	9
3	67,20	72,30	4	6	0,250	16,480	-10,480	6,664
4	72,30	77,40	2
5	77,40	82,50	12	12	0,164	10,845	1,155	0,123
6	82,50	87,60	12	12	0,158	10,438	1,562	0,234
7	87,60	92,70	10	10	0,128	8,459	1,541	0,281
8	92,70	97,80	8	13	0,162	10,695	2,305	0,497
9	97,80	102,90	4
10	102,90	108,00	1

В пятом столбце таблицы приведены вероятности p_k, вычисляемые по формуле p_k = Ф , k = 1,2,…, 10,

где a_k и b_k – соответственно нижняя и верхняя границы интервалов.

Т.к. для большей точности требуется, чтобы выполнялось условие np_k ≥ 6, то 1 и 2 интервалы объединены, также как и 8,9 и 10. После объединения осталось 6 интервалов, а выбраны 2 параметра, то число степеней свободы равно 6-2-1=3. Квантиль распределения порядка 0,95 с 3 степенями свободы равен = 7.81. Выборочное значение критерия = 13,99. , следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки отвергается.

5. Определение доверительных интервалов

В целях освоения практических навыков построения доверительных интервалов числовых характеристик выборочных случайных величин, в предположении нормальности распределения данных постоим 95% доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

Выборочное среднее: x_ср= 81,36 Дисперсия несмещенная: D_x= 149,13

Доверительная вероятность: P = 0.95

Уровень значимости: α = 0.05

Объем выборки: n = 66 Квантиль распределения Стьюдента:

Используя формулу , получим доверительный интервал для математического ожидания:

С вероятностью 0,95 математическое ожидание лежит в пределах от до .

Используя формулу , получим доверительный интервал для дисперсии: =89,17

=44,60

С вероятностью 0,95 дисперсия лежит в пределах от до .

3. Выводы

Выборочное среднее – средний износ режущего инструмента через определенное время обработки детали на станке, равный 81,36 мкм.

Дисперсия – мера разброса значения износа режущего инструмента через определенное время обработки детали на станке, равная 149.13 мкм².

Стандартное отклонение - индикатор изменчивости. Он измеряет, насколько широко значения выборки рассеяны от среднего значения. Большое значение стандартного отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения. В нашем случае стандартное отклонение равно 12,21 мкм. Т.к. среднее значение равно 89.36 мкм, то получается довольно большой разброс, около 13,6% от среднего значения.

Коэффициент асимметрии равен -0,26, следовательно, вытянута левая часть графика (относительно графика f(x) нормального распределения).

Коэффициент эксцесса равен -0,77228, следовательно, вершина менее острая (относительно графика f(x) нормального распределения).

Также мы составили таблицу группированной выборки и построили гистограммы и полигоны частот и относительных частот для наглядности предоставляемой информации.

Проверив гипотезу о нормальности распределения по критерию “хи-квадрат”, получили отрицательный результат (гипотеза оказалась ложной).

Построив доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, можем утверждать, что с вероятностью 0.95 математическое ожидание лежит в пределах от до , а дисперсия лежит в пределах от до . Список литературы

• Практикум по прикладной статистике : учебное пособие / С. Г. Валеев, В. Н. Клячкин. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 129 с.: ил.

• Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. ч. 4 / Ефимов А.В. (ред.), Поспелов А.С. (ред.) – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 432 с.