3.3. Метод релаксаций

Пусть дана система: (3.1)

Преобразуем эту систему следующим образом: перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на , второе – на и т.д. Тогда получим систему, приготовленную к релаксации: , где и .

Пусть - начальное приближение решения системы. Подставляя эти значения в систему, получим в правых частях уравнений системы некоторые числовые значения . Будем называть их невязками. Невязки обращаются в нуль при подстановке корней в уравнения системы

.

Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки увеличатся на величину _. Таким образом, чтобы обратить очередную невязку в нуль, достаточно величине дать приращение и мы будем иметь и

Суть метода заключается в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку, изменяя значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки преобразованной системы будут равны нулю с заданной степенью точности.

Пример3.1: Пусть дана линейная система. Решить с точностью 0.01.

.

Приведем систему к виду, удобному для релаксации:

.

Выбирая в качестве начальных приближений корней нулевые значения , находим , , .

Согласно общей теории полагаем: . Отсюда получаем невязки

Далее полагаем

Суммируя все приращения получим значения корней:

Удобно располагать вычисления в таблице:

x1	R1	x2	R2	x3	R3
0 0.93	.60 0.16	0 0.86	0.70 0.16	0 0,80 0.18	0.80 -0.80
	0.76 0.17		0.86 -0.86		0 0.09
	0.93 -0.93	0.13	0 0.09		0.09 0.09
0.07	0 0.04		0.09 0.04		0.18 -0.18
	0.04 0.03		0.13 -0.13	0.02	0 0.01
	0.07 -0.07	0.01	0 0.01		0.01 0.01
	0 0		0.01 0		0.02 -0.02
	0 0		0.01 -0.01		0 0
	0		0		0
1.00		1.00		1.00

Ответ:

Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений

4.1. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам

,

,

где , ,

а якобиан

.

Начальные приближения и определяются приближенно (графически и т.п.).

Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.

Пример 4.1 Решить нелинейную систему уравнений в Mathcad с пятью верными знаками после запятой.

Преобразуем систему, выразив х из обоих уравнений.

Левые части уравнений исходной системы зададим в виде функций пользователя с двумя переменными.

Правые части преобразованной системы зададим в виде функций пользователя от переменной y. Построим их на графике.

Точка пересечения кривых на графике лежит в прямоугольнике

1.5<x<1.75 ;1.1<y<1.3. За начальное приближение корней системы

примем x=1.7 и y=1.3

Вычисления с помощью встроенных функций Mathcadа

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Ответ: x=1.23427 y=1.66153

Рис.4.1. Решение примера 4.1 в Mathcad