1.3. Вычислительная погрешность

Далее для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа x как Δ_x относительную погрешность как δ_Х .

1. Погрешность суммирования чисел х±Δ_х, у± Δ_y

Абсолютная: погрешность:

Δ_z = (x± Δ_x)+(y± Δ_y)=(x + y) ±(Δ_x± Δ_y)

Относительная погрешность:

2. Погрешность вычитания чисел х±Δ_х, у± Δ_Y

Абсолютная: погрешность:

Δ_z = (x± Δ_x)-(y± Δ_y)=(x + y) ±(Δ_x± Δ_y)

Относительная погрешность:

3. Погрешность умножения чисел х±Δ_х, у± Δ_y

Абсолютная: погрешность:

z = (x± Δ_x) (y± Δ_y)=xּy± yּΔ_x ±xּΔ_y± Δ_xּΔ_{y =} xּy± yּΔ_x ±xּΔ_y

Относительная погрешность:

4. Погрешность деления чисел х±Δ_х, у± Δ_y

Абсолютная: погрешность:

Относительная погрешность:

5. Погрешность функции, зависящей от одной переменной.

Абсолютная: погрешность:

Относительная погрешность:

.

Глава 2. Решение нелинейных уравнений

2.1. Отделение корней уравнения

Пусть дано уравнение, которое в общем виде записывается формулой

, (2.1)

где f(x) любая действительная функция.

Точным корнем уравнения (2.1) на конечном или бесконечном отрезке [α,β] назовем всякое число ξ из промежутка, которое обращает функцию.f(x) в нуль. Так как уравнение может быть достаточно сложным, редко удается найти его точные корни. Задача состоит в том, чтобы найти приближенные корни и оценить, насколько точно это сделано.

Процесс нахождения приближенных корней уравнения общего вида f(x) = 0 проводится в два этапа:

1. Отделение корней, то есть установление возможно малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения (2.1);

2. Уточнение приближенных корней.

Если ξ-точный корень, x приближенный корень уравнения (2.1), а ε точность, то для того, чтобы приближенный корень x был найден с заданной точностью ε достаточно потребовать выполнения неравенства: _.

Теорема 2.1: Если непрерывная функция принимает значения противоположных знаков на концах , т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения .

Корень [ ] заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала , т.е. (или ) при .

2.1.1. Аналитический метод отделения корней

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках и области ее существования. Затем определяются знаки функции в ряде промежуточных точек , выбор которых учитывает особенности функции . (Имеются в виду точки, где функция имеет экстремум или разрыв) Если окажется, что , то в силу теоремы в интервале существует корень уравнения . Можно сузить полученные промежутки методом простой подстановки значений в уравнение.

Пример2.1. Отделить корни уравнения

Найдем корни производной

,

x₁=1 x₂=0.75 x₃=1

Составим таблицу. В первой строке поместим в порядке возрастания концы интервала и точки экстремумов, во второй знаки функции в этих точках.

х	-∞	-1	0.75	1	∞
Sign f(x)	+	-	-	-	+

Уравнение имеет два корня. , . Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:

х	-∞	-2	-1	0.75	1	2	∞
Sign f(x)	+	+	-	-	-	+	+

Следовательно, , .