9.2. Численные методы

9.2.1. Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(9.6)

с начальным условием . Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек .

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются по формулам . При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломанной, имеет направление той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку .

Если правая часть уравнения в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условиям

,

,

то имеет место следующая оценка погрешности:

,

где - значение точного решения уравнения при , а - приближенное значение, полученное на n-м шаге в этой же точке.

На практике, для оценки точности полученных результатов, применяют двойной пересчет: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного значения в точке оценивают приближенно так:

Пример 9.5. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0;0.5] с шагом h с точностью до трёх знаков. Выполним это задание в Mathcad

Для этого разделим промежуток [a,b] на n частей и найдем шаг интегрирования h.

Разделим промежуток интегрирования на 2n частей и

пересчитаем значения y_i с новым шагом h/2

Решением уравнения является таблица значений у_i , найденных в точках отрезка [0;0.5] с шагом h=0,01 с точностью до трёх знаков.

Рис 9.1 Решение примера 9.5 в Mathcad методом Эйлера

9.2.2. Модифицированные методы Эйлера Первый улучшенный метод Эйлера

Первый улучшенный метод состоит в том, что сначала вычисляют промежуточные значения.

а затем полагают

Второй улучшенный метод Эйлера

По второму улучшенному методу – методу Эйлера-Коши – сначала определяют «грубое приближение» , затем вычисляют значение функции и приближенно полагают . Остаточные члены первого и второго улучшенных методов Эйлера на каждом шаге имеют порядок .

Третий улучшенный метод Эйлера

Метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить , применяя итерационную обработку каждого значения . А именно, исходя из грубого приближения , построим итерационный процесс . Итерации продолжаем до тех пор, пока в двух последовательных приближений не совпадут соответствующие десятичные знаки. После этого полагаем .

Как правило, при достаточно малом h, итерации быстро сходятся. Если после трех-четырех итераций не произошло совпадения нужного числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг расчета h.

Оценка погрешности в точке может быть получена с помощью двойного пересчета: расчет повторяют с шагом , и погрешность более точного значения оценивают приближенно так

,

где - значение точного решения дифференциального уравнения.