8 .3 Формула Симпсона и ее остаточный член

Рис 8.2. Формула Симпсона

Найдем коэффициенты -Котеса для n=1

.

Подставим в формулу (8.3)

.

Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен:

8.4. Общая формула Симпсона и ее остаточный член

Пусть n=2m есть четное число и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом . Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь .

Следовательно, .

Отсюда получаем общую формулу Симпсона:

.

Введя обозначения , формулу можно записать в более простом виде:

.

Если функция непрерывно дифференцируема до четвертого порядка, то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке дается формулой:

, где .

Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде:

.

непрерывна на отрезке [a,b], поэтому найдется точка такая, что .

Следовательно

, (8.9)

где .

Если задана предельная допустимая погрешность , то, обозначив , будем иметь для определения шага h неравенство:

, отсюда , т.е. h имеет порядок . Говорят, что степень точности метода Симпсона равна четырем

Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.

Предполагая, что на отрезке [a,b] производная меняется медленно, в силу формулы (8.9), получаем приближенное выражение для искомой ошибки

, где коэффициент M будем считать постоянным на промежутке интегрирования. Пусть и - приближенные значения интеграла , полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом h и H=2h. Имеем: и . Отсюда

.

За приближенное значение интеграла целесообразно принять исправленное значение

.

Пример 8.2 Вычислить в Mathcad интеграл методом Симпсона для n=8. Оценить остаточный член.

Вычисляем для формулы Симпсона при n=4

Сделаем двойной пересчет при n=8

В качестве ответа возьмем

Остаточный член приблизительно равен

Это точный результат

Рис. 8.3. Решение примера 8.2 в Mathcad

8.5. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков

Производя соответствующие вычисления при n=3, получим из формулы (8.3) и из выражения значения и квадратурную формулу Ньютона:

(правило ).

Остаточный член формулы равен , где , т.е. при одинаковом шаге формула Ньютона, вообще говоря, менее точна, чем формула Симпсона.

8.6. Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу

, (8.10)

где - постоянные коэффициенты. Чебышев предположил выбрать абсциссы таким образом, чтобы:

1. коэффициенты были равны между собой;

2. квадратурная формула (8.10) являлась точной для всех полиномов до степени n включительно.

Покажем, как могут быть найдены в этом случае величины и . Полагаем . Учитывая, что при , будем иметь , получаем . Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид:

. (8.11)

Для определения абсцисс заметим, что формула (8.11) согласно условию 2 должна быть точной для функции вида . Подставляя эти функции в формулу (8.11), получим систему уравнений:

, (8.12)

из которой могут быть определены неизвестные . Заметим, что система (8.12) при n=8 и n10 не имеет действительных решений.

Выведем формулу Чебышева с тремя ординатами (n=3).

Для определения абсцисс имеем систему уравнений:

(8.13)

Рассмотрим симметрические функции корней:

Из системы (8.13) имеем:

Отсюда заключаем по теореме Виета, что есть корни вспомогательного уравнения или . Следовательно, можно принять: .

Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид .

Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида , следует преобразовать его с помощью подстановки:

, переводящей отрезок в отрезок . Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева, будем иметь

,

где и - корни системы (8.13).

В таблице приведены значения корней t_i системы (8.12) для n=1,2…,7.

Таблица 8.1

Значения абсцисс t_i в формуле Чебышева

n	i	ti
2	2;1	±0.577350
3	3;1 2	±0.707107 0
4	4;1 3;2	±0.794654 ±0.187592
5	5;1 4;2 3	±0.832498 ±0.374541 0
6	6;1 5;2 4;3	±0.866247 ±0.422519 ±0.266635
7	7;1 6;2 5;3 4	±0.883862 ±0.529657 ±0.323912 0

Пример 8.3. Вычислить интеграл из предыдущего примера по формуле Чебышева для четырех и для пяти точек в Mathcad.

Оценить точность вычислений.

Вычисление интеграла методом Чебышева для 5точек

Рис. 8.3. Решение примера 8.2 в Mathcad