Учебное пособие по «Математическому анализу»

Составила Н.И.Макарчук

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения (Д.У.) занимают особое место в математике, имеют многочисленные применения.

Основной задачей теории Д.У. является изучение функций, представляющих собой решение этих уравнений. Если функция зависит от одной переменной, то Д.У. называются обыкновенными. Теория Д.У., когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных, является более сложной и представляет специальный раздел математики – уравнения в частных производных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнение вида F(x,y, называется Д.У. n-порядка.

Решить уравнение – значит найти функцию , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Порядок Д.У. – это порядок старшей производной, содержащейся в уравнении.

Степень Д.У. – степень старшей производной.

Пример. Д.У. 3-ей степени первого порядка,

Д.У. 1-й степени второго порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Слово «обыкновенные» будет опускаться.

Определение. Уравнение вида

F(x,y, =0 (1),

где x – независимая переменная, у и - неизвестная функция и её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно , то уравнение имеет вид

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Определение. Решением Д.У. первого порядка называется функция , определенная на интервале , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

В теории Д.У. основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши.

Теорема Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение .

Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости xOy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию . Условия, которые задают значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши) и записываются в форме:

(3).

Задача о нахождении решения Д.У. называется задачей интегрирования данного интегрального уравнения.

График решения Д.У. называется интегральной кривой.

В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий – начальных условий (3) через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Задача нахождения решения уравнения (2), удовлетворяющего условиям (3) , означает нахождение (выделение) из множества интегральных кривых одной кривой, проходящей через заданную точку ( ) области D.

Особые точки дифференциального уравнения – это точки плоскости , через которые либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит более одной интегральной кривой. Это случаи, когда не выполняются начальные условия (условия Коши).

Определение. Общим решением уравнения (2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной с.

Определение. Частным решением уравнения (2) в области D называется функция , полученная при определенном значении постоянной .

Геометрический смысл: общее решение дифференциального уравнения (2) представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от произвольной постоянной с. Условия Коши (3) фиксируют произвольную постоянную с и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых одну интегральную кривую , проходящую через точку ( ).

Пример.

Правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Коши во всех точках плоскости : определены и непрерывны на всей плоскости , т.к. и .

Общим решением уравнения является функция , где с произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (2). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия ( ) и подставим их в формулу общего решения. Получим , отсюда находим частное решении .

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Рассмотрим уравнение . Пусть его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой её точке существует касательная. Из записи дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой её точке равен правой части этого уравнения. Следовательно, уравнение I-го порядка задает угловой коэффициент ( )

касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке сопоставить отрезок направленный под углом наклона к оси , то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом заключается геометрический смысл дифференциального уравнения I-го порядка. Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.

Пример1. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей .

Решение. ,

.

. Это и есть дифференциальное уравнение семейства окружностей.

Пример2.

Составить дифференциальное уравнение семейства линий .

Решение. , .